Trapézio equilátero Diagonal. Cal é a liña central do trapézio. Tipos de trapézios. Trapeze - lo ..

O trapezoide é un caso especial dun cuadrilátero, no que un par de lados é paralelo. O termo "trapezoid" provén da palabra grega τράπεζα, que significa "táboa", "táboa". Neste artigo, veremos os tipos de trapecio e as súas propiedades. Ademais, entenderemos como calcular os elementos individuais desta figura xeométrica. Por exemplo, a diagonal dun trapecio equilátero, a liña media, a área, etc. O material descríbese ao estilo da xeometría popular elemental, é dicir, dunha forma fácilmente accesible.

Información xeral

En primeiro lugar, vexamos o que é un cuadrilátero. Esta figura é un caso especial dun polígono que contén catro lados e catro vértices. Dous vértices dun cadrado que non son adxacentes chámanse vértices opostos. O mesmo pode dicirse sobre os dous lados non contiguos. Os principais tipos de cuadriláteros son un paralelogramo, un rectángulo, un rombo, un cadrado, un trapezoide e un deloide.

Entón, de volta ao trapezoide. Como xa dixemos, esta figura ten dous lados que son paralelos. Son chamados bases. Os outros dous (non paralelos) son os lados. Nos materiais de exames e en varias probas, moitas veces é posible cumprir as tarefas asociadas cos trapecios, a solución das cales moitas veces require que o alumno teña coñecemento non proporcionado polo programa. O curso de xeometría escolar introduce aos alumnos as propiedades de ángulos e diagonais, así como a liña media dun trapecio isósceles. Pero ao final, ademais, a mencionada figura xeométrica ten outras características. Pero sobre eles máis tarde ...

Tipos de trapezoide

Hai moitos tipos desta figura. Non obstante, dúas delas adoitan considerarse isósceles e rectangulares.

1. Un trapezoide rectangular é unha figura na cal un dos lados laterales é perpendicular ás bases. Ten dous ángulos sempre igual a noventa graos.

2. Un trapezoide isósceles é unha figura xeométrica cuxos lados son iguais entre si. Isto significa que os ángulos das bases tamén son iguais en pares.

Os principais principios da técnica de estudar as propiedades do trapecio

O principal principio é o uso do chamado enfoque de problemas. De feito, non hai necesidade de introducir novas propiedades desta figura no curso de xeometría teórica. Pódense abrir e formular no proceso de resolución de varios problemas (mellores sistemas). Ao mesmo tempo, é moi importante que o profesor coñeza as tarefas que se deben establecer antes dos escolares nun momento ou outro do proceso educativo. Ademais, cada propiedade trapezoidal pódese representar como tarefa clave no sistema de tarefas.

O segundo principio é a chamada organización espiral de estudar as propiedades do trapecio "notable". Isto implica un retorno no proceso de aprendizaxe ás características individuais da figura xeométrica dada. Así, os alumnos son máis fáciles de lembrar. Por exemplo, a propiedade de catro puntos. Pódese probar tanto no estudo da semellanza como despois coa axuda dos vectores. E a igualdade dos triángulos adxacentes aos lados da figura pódese probar aplicando non só as propiedades dos triángulos con alturas iguais atraídas aos lados que se atopan nunha soa liña, senón tamén usando a fórmula S = 1/2 (ab * sinα). Ademais, pódese traballar o teorema sinusoidal nun trapezoide inscrito ou un triángulo recto no trapecio descrito, e así sucesivamente.

A aplicación das características "non programáticas" da figura xeométrica nos contidos do curso escolar é unha tecnoloxía prudente para o seu ensino. A apelación constante ás propiedades estudadas no paso de outros temas permite aos estudantes comprender mellor o trapezoide e asegurar o éxito da solución das tarefas. Entón, imos comezar a estudar esta figura notable.

Elementos e propiedades dun trapezoide isósceles

Como xa sinalamos, nesta figura xeométrica os lados son iguais. Ela tamén é coñecida como o trapezoide dereito. E por que é tan notable e por que conseguiu ese nome? A peculiaridade desta figura é que non só os lados e as esquinas das bases son iguais, senón tamén as diagonales. Ademais, a suma dos ángulos dun trapezoide isósceles é de 360 graos. Pero iso non é todo. De todos os trapézios coñecidos, só ao redor dunha isósceles pódese describir un círculo. Isto é debido ao feito de que a suma dos ángulos opostos nesta figura é de 180 graos, pero só en tal condición é posible describir o círculo ao redor do cuadrilátero. A seguinte propiedade da figura xeométrica en cuestión é que a distancia desde a parte superior da base ata a proxección do vértice oposto á liña que contén esta base será igual á liña media.

E agora imos descubrir como atopar os ángulos dun trapézio isósceles. Consideremos a solución deste problema, sempre que se coñecen as dimensións dos lados da figura.

A solución

Normalmente un cuadrilátero adoita denotar por letras A, B, C, D, onde BS e AD son as bases. No trapécio isósceles, os lados son iguais. Supoñeremos que o seu tamaño é igual a X e os tamaños das bases son iguais a Y e Z (máis pequenos e maiores, respectivamente). Para realizar o cálculo é necesario chamar a altura H. desde o ángulo B. Como resultado, temos un triángulo rectangular ABN, onde AB é a hipotenusa e BN e AN son as pernas. Calculamos o tamaño da AN: a partir da base máis grande restamos o menor e dividimos o resultado por 2. Escribimos na forma da fórmula: (ZY) / 2 = F. Agora, para calcular o ángulo agudo do triángulo, usamos a función cos. Recibimos a seguinte notación: cos (β) = X / F. Agora calcule o ángulo: β = arcos (X / F). Ademais, sabendo un recuncho, podemos definir o segundo, para iso realizamos a acción aritmética elemental: 180 - β. Todos os ángulos están definidos.

Hai tamén unha segunda solución a este problema. No inicio, baixamos a altura H desde o ángulo B. Calculamos o valor da cate- gencia BN. Sabemos que o cadrado da hipotenusa dun triángulo recto é igual á suma dos cadrados das pernas. Recibimos: BN = √ (X2-F2). A continuación, usamos a función trigonométrica tg. Como resultado temos: β = arctg (BN / F). Atópase o ángulo agudo. A continuación, definimos o ángulo obtuso semellante ao primeiro método.

A propiedade de diagonales dun trapézio isósceles

En primeiro lugar, escribimos catro regras. Se as diagonais dun trapecio isósceles son perpendiculares, entón:

- A altura da figura será igual á suma das bases dividida por dúas;

- a súa altura e liña media son iguais;

- a área do trapecio será igual ao cadrado da altura (a liña do medio, a metade da suma das bases);

- O cadrado da diagonal é igual a metade do cadrado da suma das bases ou ao cadrado dobre da liña media (altura).

Agora consideramos as fórmulas que determinan a diagonal dun trapecio equilátero. Este bloque de información pode dividirse en catro partes:

1. A fórmula para a lonxitude da diagonal a través dos seus lados.

Supoña que A é a base inferior, B é a parte superior, C é lados iguais, e D é a diagonal. Neste caso, a lonxitude pode determinarse do seguinte xeito:

D = √ (C2 + A * B).

2. Fórmula para a lonxitude da diagonal polo teorema do coseno.

Supoña que A é a base inferior, B é a parte superior, B é a parte superior, D é a diagonal, α (na base inferior) e β (na base superior) son as esquinas do trapezoide. Obtemos as seguintes fórmulas, mediante as cales podemos calcular a lonxitude da diagonal:

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosα);

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosα).

3. Fórmula para a lonxitude das diagonais dun trapezoide isósceles.

Supoña que A é a base inferior, B é a parte superior, D é a diagonal, M é a liña media, H é a altura, P é a área do trapecio, e α e β son os ángulos entre as diagonais. Determine a lonxitude das seguintes fórmulas:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

Para este caso, a igualdade: sinα = sinβ.

4. Formas de lonxitude diagonal a través de lados e altura.

Supoña que A é a base inferior, B é a parte superior, C é o lado, D é a diagonal, H é a altura e α é o ángulo coa base inferior.

Determine a lonxitude das seguintes fórmulas:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- Д = √ (Н2 + (В + Р * ctgα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (С2-Н2)).

Elementos e propiedades dun trapezoide rectangular

Vexamos o interesante sobre esta figura xeométrica. Como xa dixemos, un trapezoide rectangular ten dous ángulos rectos.

Ademais da definición clásica, hai outros. Por exemplo, un trapezoide rectangular é un trapezoide no que un lado é perpendicular ás bases. Ou unha figura con ángulos rectos ao carón. Neste tipo de trapecio, a altura é igual ao lado lateral, que é perpendicular ás bases. A liña do medio é o segmento que conecta o medio dos dous lados. A propiedade do elemento mencionado é que é paralela ás bases e é igual á metade da súa suma.

Vexamos as fórmulas básicas que definen esta figura xeométrica. Por iso, supoñemos que A e B son bases; C (perpendicular ás bases) e os lados D do trapezoide rectangular, M - liña media, α - ángulo agudo, área P.

1. O lado lateral perpendicular ás bases é igual ao alto da figura (C = H) e é igual ao produto da lonxitude do segundo lado lateral D e ao seno do ángulo α na base maior (C = D * sinα). Ademais, é igual ao produto da tangente do ángulo agudo α ea diferenza nas bases: C = (A-B) * tgα.

2. O lado D (non perpendicular ás bases) é igual á diferenza particular A e B eo coseno (α) do ángulo agudo ou a altura parcial da figura H eo sinal do ángulo agudo: D = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. O lado que é perpendicular ás bases é igual á raíz cadrada da diferenza entre o cadrado de D-o segundo lado eo cadrado da diferenza nas bases:

C = √ (A2- (A-B) 2).

4. O lado D dun trapezoide rectangular é igual á raíz cadrada da suma do cadrado do lado C e do cadrado da diferenza nas bases da figura xeométrica: D = √ (C2 + (AB) 2).

5. O lado C é igual ao cociente de dividir a área dobre pola suma das súas bases: C = П / М = 2П / (А + Б).

6. A área está determinada polo produto M (a liña media do trapezoide rectangular) ata a altura ou o lado lateral perpendicular ás bases: П = М * Н = М * С.

7. O lado C é igual ao cociente de dividir a área dobrada da figura polo produto do sinus do ángulo agudo ea suma das súas bases: C = П / М * sinα = 2П / ((А + Б) * sinα).

8. As fórmulas do lado lateral dun trapecio rectangular a través das súas diagonais eo ángulo entre elas:

- sinα = sinβ;

- C = (A1 * A2 / (A + B)) * sinα = (A1 * A2 / (A + B)) * sinβ,

Onde D1 e D2 son as diagonales do trapecio; Α e β son os ángulos entre eles.

9. Fórmulas do lado lateral a través do ángulo na base inferior e noutros lados: D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Dado que o trapezoide cun ángulo recto é un caso particular dun trapezoide, o resto das fórmulas que definen estas figuras corresponderán a un rectangular.

Propiedades de círculo inscritas

Se a condición di que un círculo está inscrito nun trapezoide rectangular, entón podes usar as seguintes propiedades:

- a suma das bases é igual á suma dos lados laterales;

- As distancias desde a parte superior da figura rectangular ata os puntos de tangencia do círculo inscrito son sempre iguais;

- a altura do trapecio é igual ao lado lateral, perpendicular ás bases, e é igual ao diámetro do círculo ;

O centro do círculo é o punto no que as bisectrices dos ángulos se cruzan;

- Se o lado está dividido polo punto de tangencia nos segmentos H e M, entón o raio do círculo é igual á raíz cadrada do produto destes segmentos;

- un cuadrángulo formado por puntos de tangencia, o vértice do trapezoide eo centro do círculo inscrito é un cadrado cuxo lado é igual ao raio;

- A área da figura é igual ao produto das bases e ao produto da media suma das bases ata a súa altura.

Trapezios similares

Este tema é moi conveniente para estudar as propiedades desta figura xeométrica. Por exemplo, as diagonais dividen o trapeio en catro triángulos, sendo semellantes os adxacentes ás bases e os lados iguais. Esta afirmación pode chamarse a propiedade dos triángulos, aos que o trapecio está dividido polas súas diagonais. A primeira parte desta afirmación demostrouse mediante o criterio de semellanza en dous ángulos. Para probar a segunda parte, é mellor empregar o método que se mostra a continuación.

Proba do teorema

Supoñemos que o patrón ABSD (AD e BS - a base trapezoidal) está roto polas diagonais de VD e AC. O punto da súa intersección é O. Obtemos catro triángulos: AOS - na base inferior, BOS - na base superior, ABO e SOD nos lados laterais. Os triángulos de SOD e BFD teñen unha altura común no caso cando os segmentos BD e OD son as súas bases. Considero que a diferenza nas súas áreas (Π) é igual á diferenza destes segmentos: ΠС / / ПСОД = = = / / / Д = = Следовательно. Polo tanto, o LDPE = NSP / K. Do mesmo xeito, os triángulos BF e AOB teñen unha altura común. Tomamos os segmentos de CO e OA como bases. Recibimos o PBO / PAOB = CO / OA = K e PAOB = PBO / K. A partir disto segue que o PSCM = PAOB.

Para arranxar o material, os alumnos son alentados a atopar unha conexión entre as áreas dos triángulos resultantes, ás que o trapecio está dividido polas súas diagonais, resolvendo o seguinte problema. Sábese que os triángulos das áreas BF e ADN son iguais, é necesario atopar a área do trapezoide. Dende o LDPE = PAOB, significa que o PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC. Da semellanza dos triángulos de BFU e AOD, segue BD / DD = √ (PBO / PAOD). En consecuencia, o BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). Obtemos o LDP = √ (PBO * PAOD). Entón o PABSD = PBO + PAOAD + 2 * √ (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

Propiedades de semellanza

Continuando desenvolvendo este tema, é posible probar outras características trapezoidales interesantes. Así, usando a semellanza, podemos probar a propiedade dun segmento que atravesa un punto formado pola intersección das diagonais desta figura xeométrica, paralela ás bases. Para iso, solucionamos o seguinte problema: hai que atopar a lonxitude do segmento PK que pasa polo punto O. A partir da semellanza dos triángulos ADD e BFD séguese que AO / OC = AD / BS. Desde a semellanza dos triángulos AOP e ASB segue que AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). A partir deste obtemos PO = BC * AD / (BS + AD). Do mesmo xeito, a partir da semellanza dos triángulos DKK e DBS segue OK = BS * AD / (BS + AD). A partir disto segue que PO = OK e PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). O segmento que atravesa o punto de intersección das diagonais paralelo ás bases e que une os dous lados laterales divídese polo punto de intersección pola metade. A súa lonxitude é a base harmónica media da figura.

Considere a seguinte calidade trapezoidal, que se chama propiedade de catro puntos. Os puntos de intersección das diagonales (Ou), as interseccións da extensión dos lados laterales (E), e tamén o medio das bases (T e M) sempre se atopan nunha soa liña. Isto é facilmente probado polo método de semellanza. Os triángulos BEC e AED obtidos son similares, e en cada un deles as medianas ET e EF dividen o ángulo no vértice de E en partes iguais. En consecuencia, os puntos E, T e M están nunha soa liña. Do mesmo xeito, os puntos T, 0 e M están situados nunha liña recta. Todo isto segue da semellanza dos triángulos BOS e AOD. Por iso, concluímos que os catro puntos - E, T, O e M - estarán en liña recta.

Usando trapéces similares, pode pedir aos estudantes que busquen a lonxitude do segmento (LF), que rompe a figura en dous semellantes. Este segmento debe ser paralelo ás bases. Dado que os trapecios obtidos de ALFD e LBSF son similares, entón BS / LF = LF / AD. Resulta que LF = √ (BS * AD). Conseguimos que o segmento que divide o trapeio en dous semellantes ten unha lonxitude igual á lonxitude xeométrica media da base da figura.

Considere a seguinte propiedade similaridade. Baséase o segmento que divide o trapézio en dúas partes de igual tamaño. Aceptar ese segmento trapézio ABSD divídese en dous EH similar. Do alto do B reduciu a altura deste segmento está dividido en dúas partes en - B1 e B2. Obter PABSD / 2 = (BS + EH *) V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (PA + BS) * (B1 + B2) / 2. Ademais compoñer o sistema, en que a primeira ecuación (BS + EH) * B1 = (PA + EH) * B2 e segunda (BS + EH) * B1 = (PA + BS) * (B1 + B2) / 2. Aquí resulta que B2 / B1 = (BS + EH) / (PA + EH) e BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Nós descubrimos que a lonxitude da división do trapézio en dúas igual, igual aos lonxitudes medios das bases cuadrática: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

conclusións de similaridade

Así, temos probado que:

1. O segmento de conexión a través do trapézio nas caras laterais, en paralelo coa BP e BS e BS é a media aritmética e (lonxitude da base dun trapézio) BP.

2. O conxunto que pasa a través do punto de intersección S do diagonais AD e BC paralelo será igual aos números medios harmónicas BP e BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. O segmento de puedes trapézio semellante ten unha lonxitude media xeométrica bases BS e BP.

4. O elemento que divide a forma en dúas partes de tamaño igual, unha lonxitude significan os números de cadrados BP e BS.

Para consolidar o material e conciencia dos vínculos entre os segmentos do estudante é necesario para construíla-los para o trapézio específico. Pode facilmente amosar a liña media eo segmento que pasa polo punto - a intersección das diagonais das figuras - paralelo ao chan. Pero onde será a terceira e cuarta? Esta resposta vai levar o alumno o descubrimento da relación descoñecida entre os valores medios.

Segmento que une os puntos medios das diagonais do trapézio

Considere a seguinte propiedade da figura. Nós aceptar que o MN segmento é paralelo ás bases e dividir polo medio en diagonal. o punto de intersección se chama o W e S. Este segmento será igual a metade da diferenza razón. Imos examinar tanto con máis detalle. MSH - a liña media do triángulo ABS, é igual á BS / 2. Mini-intervalo - a liña central do dBA triángulo, é igual a AD / 2. Entón nós cremos que SHSCH = mini intervalo-MSH, polo tanto, SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centro de gravidade

Vexamos como configurar o elemento para unha figura xeométrica. Para iso, ten que estender a base en direccións opostas. O que significa? Cómpre engadir a base para o fondo superior - a calquera das partes, por exemplo, á dereita. Un prolongar inferior á lonxitude da parte superior esquerda. A continuación, conectar súa diagonal. O punto de intersección deste segmento coa liña de centro da figura é o centro de gravidade do trapézio.

Inscrito e descrito trapézio

Imos lista de características tales figuras:

1. Liña pode ser inscrito nun círculo só se é isósceles.

2. En todo o círculo pode ser descrito como un trapézio, sempre que a suma das lonxitudes das súas bases é a suma das lonxitudes dos lados.

Consecuencias do círculo inscrito:

1. A altura do trapézio descrito sempre igual a dúas veces o raio.

2. O lado do trapézio descrito é visto dende o centro do círculo en ángulo recto.

A primeira consecuencia é obvia, e para probar o segundo é necesario para establecer que o ángulo de SOD é directa, é dicir, en realidade, tampouco será fácil. Pero o coñecemento desta propiedade permite que use un triángulo dereito de resolver problemas.

Agora imos especificar as consecuencias para o trapézio isósceles, que está inscrito nun círculo. Obtemos que o canto sexa a figura bases medias xeométricas: H = 2R = √ (BS * BP). Cumprindo o método básico de resolución de problemas para trapézios (principio de dúas alturas), o estudante debe resolver a seguinte tarefa. Aceptar que BT - a altura das isósceles figuras ABSD. Ten que atopar fragmentos de AT e AP. Aplicando a fórmula descrita anteriormente, que vai facer non é difícil.

Agora imos explicar como determinar o raio do círculo da área descrita trapézio. Omitido desde a altura superior B na base de BP. Xa que o círculo inscrito no trapezoidal, a BS + 2AB = BP ou AB = (BS + BP) / 2. Dende o triángulo ABN achado sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Obter PABSD = (PA + BS) * R, séguese que R = PABSD / (AD + BC).

.

Todas as fórmulas liña media trapézio

Agora é hora de ir ao último elemento desta figura xeométrica. Imos entender, cal é a liña central do trapézio (M):

1. A través de bases: M = (A + B) / 2.

2. Despois de altura, a base e cantos:

• M-H = A * (+ ctgα ctgβ) / 2;

• M H = D * (+ ctgα ctgβ) / 2.

3. A través dunha altura entre as mesmas e ángulo diagonal. Por exemplo, D1 e D2 - diagonal do trapézio; α, β - o ángulo entre eles:

H = * D1 D2 * sinα / 2 = H D1 D2 * * sinβ / 2H.

4. Dentro da área ea altura: M = R / N.