Que é tanxente ao círculo? Propiedades da tanxente ao círculo. A tanxente común aos dous círculos

Secantes, tanxentes - todo isto centos de veces podía ser oído sobre as leccións de xeometría. Pero a cuestión da escola atrás, pasar de ano, e todo ese coñecemento esquecido. Que debo lembra-se?

esencia

O termo "tanxente ao círculo" sinal quizais todo. Pero é improbábel que todo vai rapidamente formular unha definición. Mentres tanto chama unha liña tanxente encóntrase no mesmo plano que o círculo que intercepta-lo só un punto. A súa miríade poden existir, pero todos eles teñen as mesmas propiedades, que serán discutidos abaixo. Como podes imaxinar, o punto de contacto designado para o lugar onde o círculo ea liña cruzan. No seu caso, é un, se hai máis, entón será transversal.

A historia do descubrimento e estudo

O concepto dunha tanxente apareceu nos tempos antigos. A construción destas liñas para o primeiro círculo, e logo para as elipses, parábolas e hipérboles cunha regra e un compás realizada aínda nas fases iniciais do desenvolvemento da xeometría. Por suposto, a historia non preservou o nome do descubridor, pero está claro que, aínda naquela época a xente eran ben coñecidas propiedades tanxente ao círculo.

Os tempos modernos, o interese neste fenómeno estalou de novo - comezou unha nova rolda de estudo deste concepto en conxunto coa apertura de novas curvas. Así, Galileo introduciu o concepto de cycloid e Fermat e Descartes construíu unha tanxente a el. En canto aos círculos, ao parecer, é para os segredos antigos deixados nesta área.

propiedades

Raio deseñada para o punto de intersección será perpendicular á liña. esta principal, pero non a única propiedade que é tanxente ao círculo. Outra característica importante xa inclúe dúas rectas. Así, a través dun único punto, que se atopa fóra do círculo, é posible tomar dúas tanxentes, e os seus lonxitudes son iguais. Hai outro teorema sobre este asunto, pero de cando en cando se realiza no marco do curso de escola defecto, pero é moi útil para resolver certos problemas. El é o seguinte. Dun punto situado fóra do círculo, debuxe unha tanxente e secante a ela. segmentos formados AB, AC e AD. A - a intersección das liñas, B, o punto de tanxencia, C e D - cruzamento. Neste caso, a seguinte ecuación é válida: a lonxitude da tanxente ao círculo, cadrado, é igual ao produto dos segmentos AC e AD.

Desde o exposto, hai un corolario importante. Para cada punto do círculo, pode construír unha tanxente, pero só un. A proba diso é moi simple: en teoría abaixo perpendicular a partir do raio, descubrimos que formaban un triángulo non pode existir. E isto significa que a tanxente - o único.

edificio

Entre outras tarefas na xeometría é unha categoría especial, como regra, non é amado por alumnos e estudantes. Para resolver as tarefas desta categoría só precisa dunha compás e unha regra. É a tarefa de construción. Alí construír nunha tanxente.

Así, dado un círculo e un punto deitado fóra das súas fronteiras. E ten que navegar por eles tanxente. Como fai iso? Primeiro de todo, precisa para pasar o intervalo entre o centro do círculo O e punto definido. Entón, coa axuda dunha compás debe división lo ao medio. Para iso, ten que definir o raio - pouco máis da metade da distancia entre o centro do círculo eo punto orixinal. Entón precisas para construír dous arcos que se cruzan. O raio no cambio non debe ser o compás, eo centro de cada lado do círculo será o punto de inicio, eo respectivamente. Lugares arcos cruzamentos ten conectar ese corte sección ao medio. Pregunta o raio compás igual á distancia. Ademais, co centro no cruzamento para construír outro círculo. Ha basear-se tanto o punto de inicio, e O. Neste caso, haberá dous cruzamentos con este problema nun círculo. Que serán puntos de contacto para o punto de inicio especificado.

interesante

Está a construír unha tanxente ao círculo levou ó nacemento cálculo diferencial. O primeiro traballo sobre este tema foi publicado polo famoso matemático alemán Leibniz. É prevista a posibilidade de atopar os máximos, mínimos e tanxentes, independentemente das cantidades fracionadas e irracionais. Ben, agora é usado para moitos outros cálculos.

Ademais, a tanxente ao círculo asociado co sentido tanxente xeométrico. É a partir deste, eo seu nome vén. Traducido do tangens Latina - "tanxente". Así, este concepto non é só unha xeometría e cálculo diferencial, pero coa trigonometría.

dous círculos

Non sempre tanxente zatragivet só unha figura. Se pode gastar moitas liñas a un círculo, entón por que non viceversa? Posible. Isto é só o problema neste caso é serio complicado, porque a tanxente ós dous círculos non pode pasar a través de calquera punto, ea posición relativa de todos estes números poden ser moi diferente.

Tipos e variedades

Cando se trata de dous círculos e unha ou máis liñas, entón, aínda que sabe que se trata, non é inmediatamente claro como todas estas pezas están dispostas en relación uns ós outros. Nesta base, hai diversas variedades. Así, o círculo pode ter un ou dous puntos comúns, ou mesmo ningún. No primeiro caso, se sobrepoñen, ea segunda - para tocar. E aquí están dúas variedades. Un círculo, como se fose incorporado no segundo, o toque é chamada interna se non - entón o lado de fóra. Entender a posición relativa das pezas non só pode basearse no deseño, pero ter información sobre a suma dos seus raios ea distancia entre os seus centros. Se estes dous valores coinciden, entón os círculos tocala. Se o primeiro máis - se cruzan e outros - non teñen puntos comúns.

Así é con liñas rectas. Para os dous círculos non ter puntos comúns pódense
construír catro tanxentes. Dous deles se sobrepoñen entre as figuras, son chamados interno. Un par de outros - externo.

Se estamos a falar de círculos, que teñen un punto en común, o problema en serio simplificada. O feito é que, en calquera acordo mutuo, neste caso a tanxente terá só un. E vai pasar polo punto de intersección. Así que o edificio non vai causar dificultades.

Se os valores están dous puntos de intersección, a continuación, poden ser construídos liña tanxente ao círculo como a un, ea segunda, pero só do lado de fóra. A solución a este problema é semellante ao que é discutido máis tarde.

Afrontar os retos

Ambos tanxente interna e externa para os dous círculos do edificio non son tan simples, aínda que, e este problema está resolto. O feito do estándar auxiliar utilízase para iso, de xeito figurado un tal método só É moi problemático. Así, dado dous círculos con raios diferentes e centros O1 e O2. Para eles, a necesidade de construír dous pares de tanxentes.

Primeiro de todo, sobre o centro do círculo maior para construír apoio. Ao mesmo tempo, no compás debe ser definida a diferenza entre os raios das dúas figuras orixinais. Desde o centro da tanxente do círculo máis pequeno que o auxiliar construída. Despois de que O1 e O2 realízanse perependikulyary estes recta ata a intersección cos valores orixinais. Como segue a partir das propiedades básicas da tanxente, os puntos necesarios atópanse en ambos os círculos. O problema está resolto, polo menos na súa primeira parte.

A fin de construír tanxentes interiores ten que resolver case un problema semellante. Unha vez máis, necesitamos unha figura auxiliar, pero esta vez o seu raio é igual á suma do orixinal. Para a súa construción tanxente dende o centro dun destes círculos. Canto máis claro da decisión pode ser entendida dende o exemplo anterior.

A tanxente ao círculo, ou mesmo dous ou máis - non é unha tarefa tan difícil. Por suposto, os matemáticos deixaron moito tempo para resolver problemas similares a man e confiar calcular programas especiais. Pero non pense que é agora non necesariamente ser capaz de facelo só, porque para unha formulación correcta da tarefa para o ordenador para facer moito e entender. Desafortunadamente, hai temores de que tras a transición final para o formulario de proba de problemas de control de coñecemento sobre a construción fará que os alumnos máis e máis dificultades.

Como para atopar as tanxentes comúns a máis círculos, non sempre é posible, aínda que eles están no mesmo plano. Pero nalgúns casos, é posible atopar unha tal liña.

exemplos da vida

A tanxente común aos dous círculos é frecuentemente atopado na práctica, aínda que non sempre é clara. Transportistas, sistemas modulares, transmisión correas poleas, tensión da liña nunha máquina de costura, pero aínda só unha cadea de bicicleta - todos os exemplos de vida. Polo tanto, non creo que os problemas xeométricas permanecen só na teoría: en enxeñaría, física, construción e moitas outras áreas están en uso práctico.