Series de Fourier: a historia e influencia do mecanismo matemático para o desenvolvemento da ciencia

serie de Fourier - esa visión funcións escollido arbitrariamente para o período consecutivo. En termos xerais, esta solución é chamada o elemento de expansión sobre unha base ortogonal. A expansión de funcións en Serie de Fourier é unha ferramenta moi poderosa para resolver varios problemas debidos ás propiedades de transformación na integración, diferenciación, así como un cambio na expresión argumento e convolución.

Unha persoa que non está familiarizado coa matemática superior, así como coas obras do Fourier científico francés, probablemente non vai entender o que o "filas" e que eles fan. Con todo, esta transformación é moi entrou firmemente nosas vidas. El é usado non só matemática, senón tamén físicos, químicos, médicos, astrónomos, sismólogos, oceanógrafos e outros. Imos tamén un ollo coas obras do gran científico francés que fixeron o descubrimento, por diante do seu tempo.

O home ea transformada de Fourier

Series de Fourier é un dos métodos (xunto coa análise e outros) da transformada de Fourier. Este proceso ocorre cada vez que unha persoa escoita calquera son. Noso oído converte automaticamente a onda sonora. movemento oscilatorio das partículas elementais nun medio elástico son expandidos no volume de valores sucesivos da serie (o espectro) para os tons de diferentes alturas. A continuación, o cerebro converte estes datos en sons familiares para nós. Todo isto é, ademais do noso desexo ou a propia conciencia, pero, a fin de comprender os procesos que levan varios anos para estudar matemáticas superior.

Ler máis sobre a transformada de Fourier

A transformada de Fourier pode ser levada a cabo analítica, números e outros métodos. serie de Fourier son numeral proceso para a descomposición de calquera procesos oscilatorio - a partir das mareas e ondas de luz para ciclos solares (e outros obxectos astronómicas) actividade. Usando estas técnicas matemáticas, é posible desmontar a función, o que supón calquera procesos oscilatorio nun número de compoñentes sinusoidais que van de menos a máxima e viceversa. A transformada de Fourier é unha función que describe a fase ea amplitud dos sinusoides correspondentes a unha frecuencia particular. Este proceso pode ser utilizado para resolver un moi complexas ecuacións que describen os procesos dinámicos que teñen lugar baixo a acción da calor, luz ou enerxía eléctrica. Ademais, a serie de Fourier usadas para distinguir compoñentes CC en forma de onda complexas, polo que é posible interpretar correctamente as observacións experimentais en medicina, química e astronomía.

informacións históricas

O fundador desta teoría é o matemático francés Zhan Batist Zhozef fure. O seu nome máis tarde e esta transformación foi chamado. Inicialmente, os científicos utilizado unha técnica para estudar e explicar os mecanismos de condutividade térmica - propagación de calor en sólidos. Fourier suxerido que a distribución irregular inicial da onda térmica pode ser descomposto en sinusóide simple, cada unha das cales terá a súa temperatura mínima e máxima, así como a súa fase. Así, cada compoñente a ser medido dende mínimo a máxima e viceversa. A función matemática que describa os picos superiores e inferiores da curva, así como a fase de cada harmónica, chamado a transformada de Fourier da distribución de temperatura de expresión. O autor da teoría da función de distribución global reducida que é difícil de descrición matemática, dunha forma moi fácil de xestionar unha serie de funcións periódicas de seno e coseno, por valor de dar a distribución inicial.

O principio de conversión e os puntos de vista contemporáneos

Contemporáneos do científico - os maiores matemáticos do inicio do século XIX - non aceptou esta teoría. A principal obxección foi a aprobación de Fourier que a función discontinua describindo unha liña recta ou curva é resgada, pode ser representada como unha suma de expresións sinusoidais que son continuas. Como exemplo, considerada un "paso" Heaviside: o seu valor é cero á esquerda do foso e un á dereita. Esta función describe a dependencia da corrente eléctrica sobre a variable tempo para a cadea de peche. teoría contemporánea naquel momento, nunca atopou unha tal situación, cando unha expresión discontinua sería descrito por unha combinación de funcións comúns, continuos, como exponencial, seno, lineal ou cuadrática.

Que preocupou os matemáticos franceses na teoría de Fourier?

A pesar de todo, se unha matemático foi dereito de discutir, logo suma dunha serie de Fourier trigonométrica infinito, é posible obter unha representación exacta do paso de expresión, aínda que teña un conxunto de pasos semellantes. A principios do século XIX, esta declaración parecía absurdo. Pero a pesar de todas as dúbidas, moitos matemáticos teñen ampliado o alcance do estudo deste fenómeno, movendo-o para alén dos estudos de condución térmica. Con todo, a maioría dos científicos continuou a sufrir a pregunta: "Pode a suma da serie de onda senoidal converxe ao valor exacto dunha función discontinua"

Converxencia das series de Fourier: Exemplo

O tema da converxencia aumenta cada vez que teña que a suma dunha serie infinita de números. considerar un exemplo clásico para a comprensión deste fenómeno. pode nunca chegar a parede, cada paso é a metade da anterior? Supoña que está dous metros do gol, o primeiro paso para preto da metade do camiño, o seguinte - a marca dun de tres cuartos, e tras a quinta, vai superar case 97 por cento do camiño. Con todo, non importa cantos pasos que fixo non, o branco desexado chegar nun sentido matemático rigoroso. Usando cálculos numéricos, podemos probar que, ao final, pode estar máis preto dun arbitrariamente pequena determinada distancia. Isto é equivalente a unha proba que demostra que o valor total dun medio, un cuarto, e así por diante. E. tenderá a unidade.

O tema da converxencia: a segunda vinda, ou instrumento de Lord Kelvin

Repetidamente a cuestión xurdiu ao final do século XIX, cando a serie de Fourier intentaron utilizar para prever a intensidade dos fluxos e refluxos. Nesa altura, Lord Kelvin foi inventado dispositivo e un ordenador analóxico que permitiu mariñeiros mariña e un monitor da mariña mercante é un fenómeno natural. Este conxunto de mecanismo definida de fases e amplitudes da altura da mesa dos mares e os momentos de tempo correspondentes, coidadosamente medidos no porto ao longo do ano. Cada parámetro é un senoidais alturas de marea expresión compoñente e foi un dos compoñentes regulares. Os resultados da medición son entrada ao dispositivo de computación Lord Kelvin, sintetizando curva que previu altura da auga como unha función do ano seguinte. Moi pronto, estas curvas foron elaborados para todos os portos do mundo.

E se o proceso será dobres función discontinua?

Nesa altura, parecía evidente que o dispositivo de predición dunha onda, con moitos elementos de conta pode calcular un gran número de fases e amplitudes, e así ofrecer unha previsión máis exacta. Con todo, descubriuse que este estándar non é observado nos casos en que a expresión de marea que serán sintetizados, contiña un forte salto, é dicir, son Chapados. No caso de que o aparello para introducir datos dunha táboa de puntos no tempo, calcúlase uns coeficientes de Fourier. Recuperando a función orixinal debido ao compoñente sinusoidal (conforme os coeficientes atopados). A discrepancia entre o orixinal ea expresión reconstruída se pode medir en calquera punto. Cando os cálculos de repetición e comparacións se pode ver que o valor do maior erro non sexa reducido. Con todo, son localizadas na rexión correspondente ao punto de ruptura, e calquera outro punto tenden a cero. En 1899, este resultado foi confirmado teoricamente Joshua Willard Gibbs, da Universidade de Yale.

Converxencia de series de Fourier eo desenvolvemento da matemática como un todo

análise de Fourier non se aplica a expresión que contén un número infinito de refachos nun determinado intervalo. En xeral series de Fourier, a función orixinal é representado polo resultado das medicións físicas reais, sempre converxen. Cuestións de converxencia deste proceso para clases particulares de funcións levaron a novos ramas da matemática, como a teoría de funcións xeneralizadas. Ela está asociada con nomes como Schwartz, J .. Mikusiński e J. Temple. Baixo esta teoría, unha base teórica evidente e que para tal expresión estableceuse como a función delta de Dirac (que describe a rexión de unha única zona, concentrou-se nun barrio infinitesimal do punto) e "paso" de Heaviside. A través deste traballo series de Fourier tornouse se procede para resolver ecuacións e problemas, que implica conceptos intuitivos: carga punto, punto de masa, dipolos magnéticos, ea carga concentrada na trabe.

método de Fourier

Serie de Fourier, de conformidade cos principios da interferencia, comezará coa descomposición de formas complexas en máis simple. Por exemplo, un cambio no fluxo de calor debido á súa pasaxe a través das diversas barreiras de calor de material de forma irregular illante ou cambiar a superficie do chan - un tremor de terra, un cambio na órbita do corpo celeste - a influencia dos planetas. Tipicamente, estas ecuacións que describen elemental sistema clásico simple resolto para cada lonxitude de onda individual. Fourier amosa que solucións simples pode ser resumida como a tarefas máis complexas. Na linguaxe das matemáticas, serie de Fourier - unha metodoloxía para a presentación de suma de harmónica expresión - coseno e ondas senoidais. Polo tanto, esta análise é tamén coñecido baixo o nome de "análise harmónica".

serie de Fourier - un método ideal para a "era do ordenador"

Antes da creación da tecnoloxía de ordenador método de Fourier é a mellor arma no arsenal de científicos que traballan coa natureza ondulatoria do noso mundo. serie de Fourier en forma complexa permítelle non só resolver problemas sinxelos que son susceptibles de aplicación de leis da mecánica de Newton directo, pero tamén as ecuacións fundamentais. A maioría dos descubrimentos da ciencia newtoniana do século XIX tornouse posíbel só debido ao método de Fourier.

serie de Fourier hoxe

Co desenvolvemento da transformada de Fourier ordenadores subiron a un novo nivel. Esta técnica é firmemente entrincheirado en case todos os campos da ciencia ea tecnoloxía. Como exemplo, un vídeo e audio dixital. A súa posta en marcha foi posible só grazas á teoría desenvolvida polo matemático francés de principios do século XIX. Así, a serie de Fourier en forma de complexo ten permiso para facer un avance no estudo do espazo exterior. Ademais, ten afectado o estudo da física de materiais semicondutores e de plasma, acústica de microondas, Oceanography, radar, sismoloxía.

serie de Fourier trigonométrica

En matemáticas, unha serie de Fourier é unha forma de representar funcións complexas arbitrarias como unha suma de máis simple. En casos xerais, o número de expresións pode ser infinito. Canto maior sexa o número contado no cálculo, máis preciso o resultado final é obtido. O uso máis común de coseno trigonométrica simple ou función seno. Neste caso, a serie de Fourier é chamado trigonométricas, ea decisión de tales expresións - descomposición harmónica. Este método ten un papel importante en matemáticas. Primeiro de todo, a serie trigonométrica ofrece un medio para a imaxe, así como o estudo das funcións, é a principal unidade da teoría. Ademais, permítenos resolver unha serie de problemas na física matemática. Finalmente, esta teoría ten contribuído ao desenvolvemento da análise matemática, que deu lugar a unha serie de ramas moi importantes da ciencia matemática (teoría de integrais, teoría de funcións periódicas). Ademais, o punto de partida para o desenvolvemento das seguintes teorías: conxuntos, funcións dunha variable real, análise funcional, e tamén lanzou as bases para a análise harmónica.