Álxebra booleana. álxebra da lóxica. Elementos de lóxica matemática

No mundo de hoxe están cada vez máis a usar unha variedade de maquinaria e gadgets. E non só cando é necesario aplicar forza sobre-humana, literalmente: mover a carga para eleva-la á altura, cavar trincheira longa e profunda, etc. Cars hoxe queda robots, o alimento é cocido Multivarki e cálculos aritméticos elementais producir calculadoras ... Máis e máis frecuentemente escoitamos a frase "álxebra booleana". Quizais o tempo veu a entender o papel dos seres humanos na creación de robots e máquinas a capacidade de resolver non só matemática, senón tamén problemas lóxicos.

lóxica

Na lóxica grega - un sistema ordenado de pensamento que crea a relación entre as condicións dadas e permite facer inferencias baseadas en suposicións e estimacións. Moitas veces, nós pedir uns ós outros: "É lóxico" A resposta confirma nosas suposicións ou critica a liña de pensamento. Pero o proceso non colgarse por aí: Nós seguimos a falar.

Ás veces, o número de condicións (entrada) é tan grande, ea relación entre eles é tan confuso e complexo que o cerebro humano non é capaz de "dixerir" todo dunha vez. Pode ter máis dun mes (semana, ano) para a comprensión do que está pasando. Pero a vida moderna non nos dá estas intervalos de tempo para tomar decisións. E nós recorrer á axuda de computadores. E é aquí que hai unha álxebra e lóxica, as súas leis e propiedades. Despois de baixar todos os datos orixinais, que permiten que o ordenador para recoñecer as relacións, para eliminar as contradicións e atopar unha solución satisfactoria.

Matemáticas e lóxica

Famosos gotfrid Vilgelm Leybnits formulou o concepto de "lóxica matemática", que tarefas eran fáciles de entender só un pequeno círculo de estudiosos. De particular interese é a dirección non causou, e para o medio do século XIX da lóxica matemática coñecida por poucos.

O gran interese na comunidade científica causou unha disputa na que o inglés Dzhordzh Bul declarou a súa intención de establecer unha rama da matemática, non ningún uso práctico. Como sabemos da historia, neste momento a desenvolver activamente a produción industrial, realizamos todo tipo de maquinaria auxiliar, t. E. Todas as descubertas científicas tiveron unha orientación práctica.

Mirando cara o futuro, podemos dicir que unha álxebra booleana - o máis utilizado no mundo hoxe parte da matemática. Polo tanto, o seu argumento Buhl perdido.

Dzhordzh Bul

A personalidade do autor merece atención especial. Mesmo tendo en conta o feito de que no pasado a xente creceu antes de nós, aínda hai que ter en conta que, nos 16 anos de John. Buhl ensinou na escola da aldea, ea 20 anos abriu a súa propia escola en Lincoln. Matemático perfectamente domina cinco idiomas, e no seu tempo libre, estaba lendo as obras de Newton e Lagrange. E todo iso - sobre o fillo dun traballador común!

En 1839, Buhl enviou os seus primeiros artigos científicos no Cambridge Mathematical Journal. Scientist fixo 24 anos ano. O traballo de Boole é membros para interesados da Royal Society en 1844, recibiu unha medalla pola súa contribución ao desenvolvemento da análise matemática. Algúns artigos publicados na que os elementos de lóxica matemática, matemáticas permitiron o novo para asumir o cargo de profesor na Facultade de County Cork foron descritos. Lembre que a educación moi Boole non era.

idea

En principio, a álxebra de Boole é moi sinxelo. Hai declaracións (lóxicas expresións) que, desde o punto de vista da matemática, só pode ser definido en dúas palabras: "verdadeiro" ou "falso". Por exemplo, árbores en flor de primavera - a verdade, no verán neva - unha mentira. A beleza das matemáticas é que non é estrictamente necesario para utilizar só números. Para os xuízos de álxebra se encaixan perfectamente calquera declaracións con sentido único.

Así, a álxebra da lóxica pode ser usado literalmente en todas partes: na instrución de programación e escrita, análise de información conflitantes sobre os eventos e determinación da secuencia de accións. O máis importante - para entender que non importa como nós determinar a verdade ou falsidade de declaracións. A partir destes "como" e "por que" ten que pasar por alto. O que importa é só unha declaración de feito: a verdade é unha mentira.

Por suposto, a programación das funcións máis importantes da álxebra lóxica que son gravados con signos e símbolos axeitados. E aprendela las - que significa aprender unha nova lingua estranxeira. Nada é imposible.

definicións e conceptos básicos

Sen entrar en profundidade, lidamos coa terminoloxía. Así, a álxebra de Boole supón:

• declaracións;
• operacións lóxicas;
• funcións e leis.

Demostracións - Calquera expresión afirmativa que pode ser interpretada de dous valores. Son escritos como números (5> 3) ou palabras familiares formulados (elefante - o maior mamífero). Neste caso, a frase "o pescozo da xirafa non é" tamén ten dereito a existir, só a álxebra de Boole definilo como "unha mentira."

Todas as declaracións deben inequívocos, pero poden ser simples ou composto. O uso recente paquete lóxico. E. O composto declaracións álxebra xuízos formado pola suma de operacións lóxicas elementais.

operacións de álxebra booleana

Xa que recordar que as operacións en álxebra das resolucións xudiciais - lóxico. Así como a álxebra dos números utilizando as operacións aritméticas para sumar, restar, é comparar números, elementos lóxicos matemáticos permiten facer declaracións complexas, para negar ou para calcular o resultado final.

operacións lóxicas para a formalización e sinxeleza expresado pola fórmula, familiar para nós na aritmética. Propiedades das ecuacións álxebra booleana facelo posible gravar e calcular o descoñecido. operacións lóxicas son xeralmente gravadas por táboa verdade. Seus elementos definir columnas e operación de computación efectuadas sobre eles, e as liñas amosan o resultado de cálculos.

lóxica básica de acción

O máis común nas operacións de álxebra booleana son negación (NOT), ea lóxica AND e OR. Así é posible describir practicamente todos os pasos en xuízos de álxebra. Estudamos en detalle cada unha das tres operacións.

A negación (non) é aplicado a un elemento (operando). Polo tanto, a operación chámase negación unário. Para gravar o concepto de "non é un" usando tales símbolos: ¬ A, A ou A!. En forma de táboa, parece que iso:

A función de denegación típico dunha tal declaración: se A é certo, entón A - é falsa. Por exemplo, a lúa xira en torno da Terra - a verdade; Terra xira arredor da lúa - unha mentira.

multiplicación lóxica e ademais

E lóxico operación é chamada dunha conxunción. O que significa? En primeiro lugar, que pode ser aplicado a dous operadores, é dicir, I - .. operación binaria. En segundo lugar, é só no caso da verdade de ambos operandos (ambos A e B) é certo ea propia expresión. O proverbio, "Paciencia e un pouco de esforzo" implica que só dous factores poden axudar a unha persoa a xestionar as dificultades.

símbolos son utilizados para a gravación: A∧B, A⋅B ou A && B.

Conxunción é semellante á multiplicación en aritmética. Ás veces, é dicir - multiplicación lóxica. Se multiplicar os elementos das liñas da táboa, obtemos un resultado semellante ao pensamento lóxico.

Disjunção é unha operación lóxica OR. Certo, se polo menos unha das afirmacións é verdadeira (A ou B). Está escrito así: A∨B, A + B ou A || B. a táboa verdade para estas operacións son:

Disjunção adición aritmética similar. operación de adición lóxico ten só unha restrición: 1 + 1 = 1. Pero recorda que nun formato dixital é limitado a lóxica matemática 0 e 1 (onde 1 - a verdade, 0 - false). Por exemplo, a afirmación "no museo verás unha obra de arte ou atopar unha boa empresa" significa que pode ver obras de arte, e é posible para atender unha persoa interesante. Ao mesmo tempo, non descarta a posibilidade de realización simultánea de ambos eventos.

Funcións e leis

Entón, nós xa sabemos que a operación lóxica usando álxebra booleana. Funcións describir todas as propiedades dos elementos da lóxica matemática, e permítenos simplificar instrucións compostas complexas. A máis clara e simple parece propiedade rexeitamento das operacións de derivados. Por derivados son comprendidos XOR, implicación e equivalencia. Como temos lido soamente coas operacións básicas e, a continuación, a propiedade tamén está só a considera-los.

Associatividade significa que nas declaracións como "A e B e B 'Ordenar secuencia dos operandos non importa. A fórmula é escrito do seguinte xeito:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Como verás, iso non é exclusivo para o conxunto, pero unha disjunção.

Comutatividade argumenta que o resultado da conxunción ou disjunção non depende de cal elemento foi considerado desde o inicio:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributividade permite divulgar corchetes en expresións lóxicas complexas. Regras son similares ao paréntese de apertura na multiplicación e adición de álxebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Propiedades da unidade e cero, que pode ser un dos operandos son tamén similares á multiplicación alxébrica de cero ou un, e adición de unha unidade:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency dinos que relativamente dous operandos iguais o resultado da operación é a mesma, pode "xogar" os operandos complicar razoamento en exceso. E as operacións de conxunción e disjunção son idempotente.

B∧B = B; B∨B = B.

Adquisición tamén nos permite simplificar a ecuación. Absorción afirma que, cando a expresión aplícase a un operando, outra operación co mesmo elemento da operando resultado está absorbendo operación.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

secuencia de operacións

A secuencia das operacións é de gran importancia. En realidade, como a álxebra, hai unha función de prioridade que utiliza unha álxebra booleana. As fórmulas poden ser simplificadas só mediante a importancia das operacións. Valoración das máis significativas para insignificante, obtemos a seguinte secuencia:

1. negación.

2. Conxunción.

3. O disjunção, XOR.

4. A implicación, equivalencia.

Como verás, só o negación do conxunto e non teñen a mesma prioridade. A prioridade da disjunção e XOR coinciden, así como as prioridades da implicación e equivalencia.

Funcións de implicación e equivalencia

Como xa dixemos, ademais das operacións lóxicas básicas, lóxica matemática e teoría de algoritmos que empregan derivados. É a maioría das veces a implicación e equivalencia.

A implicación é consecuencia lóxica - esta declaración, en que unha acción é unha condición, eo outro - o resultado da súa implantación. Noutras palabras, esta proposta co pretexto de "se ... entón". "Despois da cea vén o axuste de contas". E. Para dirixir a ser axustado no outeiro trineo. Se non hai desexo de se mover para abaixo da montaña, e logo arrastra o trineo non é necesario. Está escrito así: A → B ou A⇒B.

Equivalencia implica que o efecto neto ocorre só cando ambos operandos son certos. Por exemplo, a noite da lugar ao día, entón (e só entón), cando o sol nace no horizonte. Na linguaxe da lóxica matemática desa afirmación é escrito como A≡B, A⇔B, A == B.

Outras leis da álxebra booleana

Álxebra xuízo desenvolve, e moitos científicos interesados para formular novas leis. O máis famoso son considerados postula matemático escocés O. De Morgan. El entendeu e deu unha definición de propiedades, como preto negación, adición e dobre negativa.

Pechar negación suxire que antes do parénteses é innegable: non (A ou B) = Non A ou B. Non

Cando o operando é negado, independentemente do seu valor, dicir adición:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

E, finalmente, o dúo propia negación compensa. É dicir, antes de calquera negación operando desaparece ou segue sendo só un.

Como resolver probas

Lóxica implica ecuacións de simplificación predeterminado. Así como na álxebra de Lie, é necesario para facilitar ao máximo primeira condición (para se librar de operacións de entrada complicadas, e con eles), a continuación, comezar a ollar a unha resposta correcta.

¿Que facer para simplificar? Converter todas as derivadas nunha operación simple. Logo descubrir todos os soportes (ou viceversa, para facer os soportes para reducir este elemento). O paso seguinte debe ser a de utilizar as propiedades de álxebra booleana en práctica (propiedades de absorción de cero e un, e t.).

En definitiva, a ecuación debe consistir dun número mínimo de incógnitas, quedar operacións simples. O xeito máis doado de buscar unha solución, se fai un gran número de negativos próximos. Entón a resposta aparecerá como se por si só.