Transformada de Wavelet: determinación exemplo de aplicación

A chegada das cámaras dixitais de baixo custo fixo que unha gran parte dos habitantes do planeta, independentemente da idade e sexo, adquiriu o costume de capturar todos os seus pasos e poñer as súas fotos en exhibición pública nas redes sociais. Ademais, se o ficheiro de imaxe de familia anteriormente foi posto no mesmo disco, hoxe está composto por centos de fotos. Co fin de facilitar o almacenamento e transmisión a través de redes requiran unha imaxe dixital de redución de peso. Para este fin, utilízanse métodos que están baseados en varios algoritmos, incluíndo unha transformada de Wavelet. Que é, dicir o noso artigo.

¿Que é unha imaxe dixital

A información visual no ordenador está representada en forma de números. En palabras simples, unha foto tomada cun dispositivo dixital, é unha táboa na que as células son inseridos os valores de cada un de súa cor pixel. Cando se trata de unha imaxe monocromática, a continuación, son substituídos por valores de luminancia desde intervalo [0, 1], en que 0 é utilizado para referirse a negro, e 1 - negro. Outras cores son dadas números fracionários, pero con eles difíciles de controlar, así que a escala é estendido eo valor seleccionado a partir do rango entre 0 e 255. Por que isto? É sinxelo! Con esta opción na representación binaria para codificar a luminosidade de cada pixel require exactamente un byte. É evidente que unha gran cantidade de memoria para almacenar ata unha pequena imaxe. Por exemplo, o tamaño da imaxe de 256 x 256 píxeles leva 8 Kbytes.

Algunhas palabras sobre métodos de compresión da imaxe

Certamente todos xa viron a mala calidade das imaxes onde existen distorsións en forma de rectángulos da mesma cor, que son chamados de artefactos. Xorden como resultado da chamada compresión con perdas. Pode reducir significativamente o peso da imaxe, con todo, inevitablemente terá un impacto sobre a súa calidade.

Para lossy algoritmos de compresión inclúen:

• JPEG. Esta é de lonxe un dos algoritmos máis populares. El está baseado no uso de coseno transformada discreta. Na xustiza débese notar que hai opcións para JPEG compresión lossless rendemento. Estes inclúen Lossless JPEG e JPEG-LS.
• JPEG 2000. O algoritmo é utilizado en plataformas móbiles, e con base na aplicación dunha transformada wavelet discreta.
• compresión fractal. Nalgúns casos, permite obter imaxes de excelente calidade mesmo con forte compresión. Con todo, debido a problemas co patentes de este método segue sendo exótico.

algoritmos de compresión sen perdas realizados por:

• RLE (usado como método primario en formato TIFF, BMP, TGA).
• LZW (usado en formato GIF).
• LZ-Huffman (usado para o formato PNG).

Transformada de Fourier

Antes de abordar a wavelet, ten sentido para explorar as funcións relacionadas, describindo os coeficientes da expansión da información inicial en compoñentes elementais, isto é, as vibracións. E. harmónicas con diferentes frecuencias. Noutras palabras, a transformada de Fourier - unha ferramenta única Conectando mundos discretas e continuas.

Parece que este:

A fórmula de inversión é escrito do seguinte xeito:

¿Que é unha wavelet

Detrás deste nome esconde unha función matemática, que lle permite analizar as diferentes compoñentes dos datos de proba de frecuencia. Seu gráfico é unha ondulación cuxa amplitude diminúe a 0 lonxe da orixe. En interese xeral son os coeficientes wavelet determinado signo integral.

espectrogramas Wavelet son diferentes dos espectros de Fourier convencional, xa que varias características asociadas con sinais de espectro seu compoñente temporal.

transformación wavelet

Este método de conversión de sinal (funcións) permite a traducir a partir dun tempo na representación tempo-frecuencia.

Para transformación wavelet era posible, para a función de onda correspondente, deben ser satisfeitas as seguintes condicións:

• Se a algunha función ψ (t) -Fourier transformar ten a forma

esta condición debe ser satisfeita:

Ademais:

• Wavelet debe ter unha enerxía finita;
• debe ser integrable continua e ten soporte compacto;
• wavelet debe ser situada tanto na frecuencia eo tempo (espazo).

tipos

Unha transformada wavelet continua se emprega para os seus sinais. Moito máis interesante é o seu análogo discreto. Ao final, pode ser usado para o procesamento de información en computadores. Con todo, xorde un problema en que a fórmula para un taboleiro de fibras discretas non pode ser obtido por simple fórmulas discretización DNP apropiado.

A solución a este problema foi atopada por daubechies, que era capaz de escoller un método para construír unha serie de ondas ortogonais, cada un dos cales é definido por un número finito de coeficientes. Posteriormente algoritmos rápidos foron creados, como o algoritmo Malla. Na súa aplicación a descompoñer-se ou para restaurar a orde requirida para realizar operacións CN, onde N - Lonxitude da mostra, e con - Nero de coeficientes.

Vayvlet Haar

Para comprimir unha imaxe, cómpre atopar unha certa regularidade entre os seus datos, e mellor aínda se vai ser longas cadeas de ceros. Este é o lugar onde pode ser útil para a transformada wavelet algoritmo. Con todo, seguimos a revisar os métodos de traballo en orde.

En primeiro lugar, cómpre lembrar que as imaxes do brillo dos píxeles adxacentes é xeralmente caracterizado por unha pequena cantidade. Mesmo se hai imaxes en sitios reais con afiada, contrastando as diferenzas de luminosidade, que ocupan só unha pequena parte da imaxe. Como un exemplo, asumir a proba coñecido imaxe en escala de grises Lenna. Se tomamos unha matriz de luminancia dos píxeles, a continuación, a parte da primeira liña aparece como unha secuencia de números 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156.

pode aplicar o chamado método delta para ceros a el. Para iso, manter só o primeiro número, e para os outros toman só as diferenzas de cada un dos anterior co signo "+" ou "-".

O resultado é unha secuencia 154,1,1,1,0,0,1, -2.

Unha desvantaxe de delta-codificación é a súa non-localidade. Noutras palabras, é imposible tomar só unha porción dunha secuencia e descubrir o que o brillo é codificado, decodificar, se non de todos os valores diante del.

Para superar esta desvantaxe, o número é dividida en pares e son cada metade da suma de (v. A) ea metade da diferenza (v. D), m. F. para (154,155) (156,157) (157,157) (158,156) ter (154,5, 0,5) (156.5,0.5) (157,0.0), (157, -1,0). Neste caso, é sempre posible atopar o valor dos dous números en un par.

En xeral, transformada wavelet discreta do sinal S, temos:

Este método segue desde o caso discreto de transformada wavelet continua, Haar e amplamente utilizado en diversos campos de procesamento de datos e de compresión.

compresión

Como xa se mencionou, unha das aplicacións de transformada wavelet algoritmo é o método de compresión JPEG 2000 utilizando Haar con base no vector de translación de dous píxeles na X eo vector Y (X + Y) / 2 e (X - Y) / 2. É suficiente para multiplicar o vector inicial na matriz continuación.

Se os puntos de máis, levar máis de matriz, os cales están dispostos sobre unha matriz diagonal H. Polo tanto, o vector de inicio, independentemente da súa lonxitude é procesado en parellas.

filtros

O resultado do "medio-sum" - é que os valores medios de luminancia de píxeles en parellas. Ese é o valor cando converter a imaxe debe darlle unha copia, reducido en 2 veces. Neste medio suma media de brillo, t. E. "filtrada" refachos aleatorias dos seus valores e actuar como filtros de frecuencia.

Agora imos manexar os que mostran a diferenza. Son "illados" interpixel "refachos", eliminando o compoñente, isto é. E. "filtrado" valores a baixas frecuencias.

Mesmo dende o anterior Transformada de Haar para transformar as "maniquíes" torna-se evidente que é un par de filtros que dividen un sinal en dous compoñentes: a alta frecuencia e de baixa frecuencia. simplemente volver unir estes elementos para o sinal orixinal.

exemplo

Supoña que queremos comprimir a (imaxe de proba Lenna) fotografía. Considere o exemplo de wavelet transformar a matriz de brillos de píxeles. O compoñente de imaxe de alta frecuencia é responsable amosar detalles finos e describe o ruído. Como para a baixa frecuencia, que contén información sobre a forma da cara e gradientes suaves de brillo.

Presenta fotos de percepción humana son tales que a última é compoñente máis importante. Isto quere dicir que, cando a presión certa parte dos datos de alta frecuencia pode ser descartado. Tanto máis porque ten menos valor e codifícase de forma máis compacta.

Para aumentar o grao de compresión pode aplicarse varias veces, a transformación de Haar a un conxunto de datos de baixa frecuencia.

O uso de matrices bidimensionais

Como xa se mencionou, a imaxe dixital no ordenador están en forma de matriz de valores de intensidades dos seus píxeles. Así, temos que estar interesado en un Haar bidimensional transformada wavelet. Para aplicar é necesario simplemente para realizar a súa conversión dimensional para cada liña e cada columna da matriz das intensidades de píxeles da imaxe.

Valores próximos a cero, pode ser descartado sen prexuízo significativo para a imaxe decodificada. Este proceso é coñecido como cuantización. E nesta fase da información é perdida. A propósito, o número de factores nulo pode cambiar, axustando dese modo o grao de compresión.

Todos estes pasos producir que a matriz obtense que contén grandes cantidades de 0. Debe ser escrito liña por liña nun arquivo de texto e comprimir calquera arquivador.

desencriptación

A transformación inversa na imaxe seguinte algoritmo:

• El descomprime un ficheiro
• aplicable inversa Transformada de Haar;
• A imaxe descodificada se converter nunha matriz.

Vantaxes en comparación con JPEG

было сказано, что он основан на ДКП. Ao considerar o algoritmo Joint Photographic Experts Group se dixo que está baseado en DCT. Esta conversión é levada a cabo en bloques de (8 x 8 píxeles). Como un resultado, unha forte compresión sobre a imaxe pasa a ser reducida estrutura de bloque apreciable. Durante a compresión mediante Wavelets tal problema está ausente. Con todo, o ruído pode aparecer tipo, que teñen o aspecto de ondulacións en torno ás beiras. Crese que artefactos similares, en media, menos perceptible do que "cadrados" que son creados cando a usar o algoritmo JPEG.

Agora que sabe o que Wavelets son o que son eo que uso práctico para eles se atopou na área de procesamento e compresión de imaxes dixitais.