O paradoxo de Russell: información básica, exemplos, formulación

Russell paradoxo é dous antinomia lóxica interdependente.

Dúas formas de paradoxo de Russell

A forma máis frecuentemente discutido dunha contradición en conxuntos lóxicos. Algúns do conxunto semella os propios membros, e outros - non. O conxunto de todos os conxuntos é en si un conxunto, polo que parece que se refire a si mesmo. Nulo ou en branco, con todo, non debe ser un membro de si mesmo. Polo tanto, o conxunto de todos os conxuntos, como cero non está incluído en si mesmo. O paradoxo xorde cando a cuestión de saber se o conxunto de membro de si mesmo. Isto é posible se e só se non é.

Outra forma paradoxo é unha contradición respecto propiedades. Algunhas propiedades, parece referirse a si mesmos, mentres que outros non son. A propiedade a ser a propiedade en si é unha propiedade, mentres que a propiedade sexa un gato non é. Considere a propiedade de ter unha propiedade que non pertence a el. se aplicar a si mesmo? Unha vez máis, ningunha das hipóteses que ser o contrario. O paradoxo foi nomeado en honra de Bertrand Russell (1872-1970), que a descubriu en 1901.

historia

Entrada Russell ocorreu durante o seu traballo en "Principios de Matemáticas". Aínda que descubriu o paradoxo de forma independente, hai evidencias de que outros matemáticos e desenvolvedores da teoría dos conxuntos, incluíndo Ernst Zermelo e David Hilbert, estaban conscientes da primeira versión de contradicións antes del. Russell, con todo, foi o primeiro que discutido en detalle a paradoja nas súas obras publicadas, primeiro intentou formular solucións e os primeiros en gozar plenamente o seu significado. Un capítulo enteiro de "Principios" foi dedicado á discusión desta cuestión, ea aplicación foi dedicado á teoría dos tipos, que Russell proposta como unha solución.

Russell descubriu o "paradoxo do mentireiro ', considerando a teoría dos conxuntos de Cantor que di que o poder de calquera conxunto é menor que o conxunto dos seus subconxuntos. Polo menos no ámbito debe ser tan diversos subconxuntos como existen elementos que, se un subconxunto de cada elemento defínese contendo só este elemento. Ademais, Cantor probou que o número de elementos non pode ser igual ao número de subconxuntos. Se non houbese o mesmo número, tería que existir ƒ característica que ía amosar elementos nos seus subconxuntos. Ao mesmo tempo, pode ser probado que iso é imposible. Algúns elementos poden aparecer subconxuntos da función ƒ que as conteñan, mentres que outros non.

Considero o subconxunto de elementos que non pertencen ás súas imaxes, no que amosar ƒ. É en si un subconxunto de elementos, e por conseguinte, ƒ función sería amosar-lo sobre un elemento no ámbito. O problema é que, a continuación, a cuestión de saber se este elemento pertence ao subgrupo ao que el exhibe ƒ. Isto só é posible se non pertence. paradoxo de Russell pode ser vista como un exemplo da mesma liña de razoamento, só simplificar. O que é máis - os conxuntos ou subconxuntos do conxunto? Parece que debe haber máis conxuntos, como todos os subconxuntos dos propios conxuntos. Pero se o teorema de Cantor é verdade, non debe haber máis subconxuntos. Russell considerado simplemente amosar conxuntos sobre si mesmos e aplicado visión kantoriansky considerando o conxunto de todos estes elementos, fóra dun xogo no que son mostrados. Mostrando Russell fai-se o conxunto de todos os conxuntos, un non.

erro Frege

"O paradoxo do mentireiro" tivo un profundo impacto sobre o desenvolvemento histórico da teoría dos conxuntos. Mostrou que o concepto de conxunto universal é altamente problemática. Tamén cuestionou a noción de que para cada condición ou predicado definido pode asumir a existencia dunha pluralidade de só aquelas cousas que cumpren esta condición. Opción paradoxo sobre as propiedades - unha extensión natural para os conxuntos de versión - suscitaba serias dúbidas en canto a saber se é posible argumentar sobre a existencia obxectiva dunha propiedade ou conformidade universal cada determinado pola condición, ou predicado.

Logo as contradicións e problemas no traballo dos lóxicos se atoparon, filósofos e matemáticos que fixeron suposicións semellantes. En 1902, Russell descubriron que unha variante do paradoxo pode ser expresado nun sistema lóxico, desenvolvido no Volume I de "Fundamentos da aritmética" de Gottlob Frege, unha das principais obras sobre a lóxica da tarde XIX - inicio do século XX. Na filosofía de Frege moitos entendida como unha "extensión" ou o concepto "valor-range". Os conceptos son os máis próximos aos dos correlatos. Espérase que existen para calquera condición ou predicado. Así, hai un concepto dun conxunto, que non caen baixo o seu concepto definidor. Hai tamén unha clase definida por este concepto, e é suxeito a definición do seu concepto só se non é.

Russell escribiu a Frege sobre este conflito en xuño 1902 Correspondencia tornouse un dos máis emocionante e falou na historia da lóxica. Frege recoñeceu inmediatamente as consecuencias desastrosas do paradoxo. El observou, con todo, que a versión da controversia sobre as propiedades na súa filosofía foi resolto mediante a distinción entre os conceptos de niveis.

noción de Frege entendida como a transición dos argumentos da función para TRUE. Os conceptos de primeiro nivel tomando como argumentos os obxectos do segundo conceptos de nivel toman como argumentos para estas funcións e así por diante. Así, o concepto non pode tomarse como un argumento, eo paradoxo en termos das propiedades non poden ser formuladas. Con todo sets, expansión ou conceptos Frege entendida como referíndose ao mesmo tipo lóxico que o de todos os outros obxectos. Entón, para cada conxunto hai unha cuestión de saber se cae baixo o concepto de define-la.

Cando frego, Russell recibiu a primeira carta, o segundo volume de "Fundamentos da aritmética" xa está concluído impresión. Foi obrigado a preparar rapidamente unha aplicación que dá unha resposta ao paradoxo de Russell. Exemplos Frege contiña unha serie de solucións posibles. Pero chegou á conclusión de debilitar o concepto de conxunto abstracción nun sistema lóxico.

No orixinal, se pode concluír que o obxecto pertence ao conxunto se e só se se enmarca no concepto, define. O sistema revisado só podemos concluír que o obxecto pertence ao conxunto se e só se cae dentro da noción de establecer unha pluralidade, pero non existe en cuestión. o paradoxo de Russell xorde.

A solución, con todo, non é enteiramente satisfeito Frege. E este foi o motivo. Varios anos despois, forma máis complexa da contradición se atopou no sistema revisado. Pero aínda antes de que iso acontecese, Frege abandonou as súas decisións e parecen chegar á conclusión de que a súa visión era simplemente inviábel, e que a lóxica terá que facer sen un dos conxuntos.

Aínda outros foron propostas, solucións alternativas relativamente máis exitosos. Estes son discutidos abaixo.

A teoría dos tipos

Foi mencionado arriba que Frege era unha resposta adecuada aos paradoxos da teoría dos conxuntos na versión formulados para propiedades. resposta fregeana foi precedida pola solución máis frecuentemente discutido a esta forma de paradoxo. El está baseado no feito de que as propiedades están suxeitas a diferentes tipos e que tipo de propiedade non é o mesmo que os elementos a que se refire.

Así, nin mesmo xorde a pregunta: se a propiedade é aplicable a si. linguaxe lóxica, que separa os elementos dunha tal xerarquía, usando a teoría dos tipos. Aínda que xa se usa por Frege, a primeira vez que está totalmente explicada e fundamentada Russell no anexo ao "principio". A teoría dos tipos foi máis completa que a distinción de niveis de Frege. Ela compartiu propiedades non son só distintos tipos de lóxica, pero tamén definir. Introduza teoría para resolver a contradición no paradoxo de Russell segue.

A fin de ser unha filosóficamente adecuada, a adopción da teoría de tipos de propiedades require o desenvolvemento da teoría da natureza das propiedades de xeito que podería explicar por que non poden ser aplicadas a si. A primeira vista, ten sentido predicar a súa propia propiedade. A propiedade de ser auto-identidade, ao parecer, é tamén unha auto-identidade. A propiedade parece ser un bo agradable. Do mesmo xeito, ao parecer, parece falso dicir que a propiedade de ser un gato é un gato.

Con todo, varios pensadores xustificou a división de diferentes tipos. Russell aínda deu diferentes explicacións en diferentes momentos da súa carreira. Pola súa banda, a razón para a separación dos diferentes conceptos de niveis de Frege vén de súa teoría de conceptos insaturados. Conceptos como función, en esencia, son incompletas. Para facilitar o valor, precisan dun argumento. Non só un concepto pode predicar o concepto do mesmo tipo, xa que aínda require o seu argumento. Por exemplo, aínda que é posible tomar a raíz cadrada da raíz cadrada dun número, non pode só usar unha función de raíz cadrada para a función raíz cadrada e obter un resultado.

Sobre propiedades conservadorismo

Outra solución posible é a propiedades paradoxo propiedades negación existencia baixo calquera condición dadas, é un predicado ben formado. Por suposto, se alguén evita propiedades metafísicas de ambos elementos obxectivos e independentes como un todo, se tomamos o nominalismo paradoxo pode ser totalmente evitado.

Con todo, para resolver a antinomia non ten que ser tan extrema. Lóxica sistemas de orde superior desenvolvido Frege e Russell, conteñen o que se chama principio conceptual, segundo a cal cada abertos fórmulas, independentemente de quão complexo existe como parte dunha propiedade ou concepto por exemplo, só os elementos que corresponden a fórmula. Eles aplicaron aos atributos de cada conxunto posible de condicións ou predicados, non importa o quão complexo eran.

Con todo, se pode levar máis rigorosos propiedades metafísica, dando o dereito á existencia obxectiva de propiedades simple, incluíndo, por exemplo, como a cor vermella, firmeza, bondade e así por diante. D. Podes incluso deixar esas propiedades se aplican a si mesmos, como bondade pode ser amable.

E o mesmo estado para os atributos complexos pode negar, por exemplo, eses "recursos" como-dezasete-cabezas, pode escribir a auga, e así por diante .. Neste caso, non hai ningunha condición pre-determinada non corresponde á propiedade, entendida como separada elemento, que ten as súas propias propiedades existentes. Así, pode negar a existencia de propiedades simple ser-propiedade-que-non-aplicado-to-auto e evitar paradoxo por aplicación de propiedades metafísicas máis conservadoras.

o paradoxo de Russell: a solución

Arriba observouse que no final da súa vida Frege abandonado totalmente lóxica de conxuntos. Isto, naturalmente, unha solución para a antinomia en forma de conxuntos: a simple negación da existencia de elementos no seu conxunto. Ademais, hai outras opcións populares, os principios dos que se mostran a continuación.

A teoría para moitos tipos de

Como mencionado anteriormente, Russell tocou para unha teoría máis completa de tipos, que sería comparten non só as propiedades ou conceptos a diferentes tipos, pero tamén definir. Russell conxunto compartido nunha pluralidade de unidades separadas, unha pluralidade de conxuntos de obxectos separados, etc. Os conxuntos de obxectos non foron considerados, e unha pluralidade de conxuntos - .. Sets. Unha morea de non lle gustaba do tipo, permite que ten como membro de si mesmo. Polo tanto, non hai conxunto de todos os conxuntos que non son membros da súa propia, porque a calquera conxunto de preguntas sobre se é como un membro, é por si só un tipo de violación. Unha vez máis, a cuestión aquí é explicar os conxuntos metafísica para explicar os fundamentos filosóficos da división en tipos.

estratificación

En 1937, V. V. Kuayn ofreceu unha solución alternativa, nunha forma similar á teoría de tipos. información básica sobre el é.

Separando conxuntos de elementos e outros. Feita de xeito que a suposición de atopar unha pluralidade sempre é incorrecto ou sen sentido. Conxuntos só poden ser ofrecidos ao establecer as súas condicións non son un tipo de violación. Así, para Quine, a expresión "x non é membro de x" é a declaración significativa non implica a existencia do conxunto de todos os elementos x que satisfán esta condición.

Neste sistema, un conxunto existe para algúns fórmula aberta A se e só se é estratificada, t. E. Se as variables son asignados números enteiros positivos tales que para cada ocorrencia característica dunha pluralidade de precede variable é asignado unidade de atribuio menor que a variable, seguindo despois del. paradoxo Este bloques de Russell, xa que a fórmula utilizada para determinar o conxunto de problemas, non é o mesmo antes e despois do signo de filiación variable converténdose desestratificação.

Pero aínda ten que determinar se o sistema resultante, o que Quine chamado "novos Fundamentos da lóxica matemática" consistente.

rexeitamento

Unha visión completamente diferente é tomada na teoría de Zermelo - Fraenkel (ZF). Aquí, tamén, establecer un límite sobre a existencia de conxuntos. Pola contra, o enfoque do "top-down" de Russell e Frege, que inicialmente pensouse que a todos os conceptos, propiedades ou condicións poden suxerir a existencia do conxunto de todas as cousas con esta propiedade ou para atender a unha tal condición, en ZF-teoría, todo comeza "de abaixo arriba."

Os elementos individuais do conxunto baleiro e formar un conxunto. Polo tanto, a diferenza dos sistemas anteriores e Russell Frege FIT non pertence ao conxunto universal que inclúe todos os elementos e mesmo todo sets. ZF define límites ríxidos sobre a existencia de conxuntos. Poden existir só aqueles para os cales foi claramente postulado ou que poden ser formuladas por medio de procesos iterativos e similares. D.

Entón, en vez do concepto de abstracción conxunto inxenuo que afirma que un determinado elemento está incluído no conxunto, se e só se cumpre as condicións do principio de separación usada DF, separación ou "ordenación". No canto de asumir que a existencia do conxunto de todos os elementos que son, sen excepción satisfacer unha determinada condición, para cada conxunto existente Aussonderung indica a existencia dun subconxunto de todos os elementos do conxunto orixinal, que satisfaga a condición.

A continuación, vén o principio de abstracción: o conxunto A existe, entón, para todo x en A, x pertence ao subgrupo A, que satisfaga a condición se e só se x satisfai a C. condición Esta visión resolve a paradoja Russell, xa que non podemos simplemente asumir é dicir, o conxunto de todos os conxuntos que non son membros de si mesmos.

Ter unha chea de actuacións, pode seleccionar ou dividilo en conxuntos, que son en si mesmos, e os que non son tales, pero sempre que non existe un conxunto universal non estamos obrigados conxunto de todos os conxuntos. Sen asumir o problema define Russell contradición non pode ser comprobada.

outras solucións

Ademais, houbo prórrogas posteriores ou modificacións destas solucións, como unha teoría do tipo tenedor de "Principios de Matemáticas" de expansión do sistema "lóxica matemática" Quine, así como os desenvolvementos recentes na teoría dos conxuntos, feitos Bernays, Gödel e von Neumann. A cuestión de saber se a resposta ao paradoxo insoluble Bertrand Russell atopa, aínda é unha cuestión de debate.