A integral definida. Cálculo de integrais indefinidas

Unha das seccións fundamentais da análise matemática é o cálculo integral. El abrangue un amplo campo de obxectos, onde o primeiro - é a integral definida. Sitúe-se como unha chave que aínda está no ensino medio revela un número crecente de perspectivas e oportunidades, que describe matemáticas superior.

aspecto

A primeira vista, parece totalmente completo ao moderno, tópica, pero na práctica, dedúcese que volveu en 1800 aC. Casa para considerada oficialmente o Exipto como non nos chegou evidencias anteriores da súa existencia. É debido á falta de información, o tempo posicionados simplemente como un fenómeno. El confirma unha vez máis o nivel de desenvolvemento científico dos pobos deses tempos. Por último, os traballos foron atopados os antigos matemáticos gregos, que datan do século 4 aC. Eles describen o método utilizado onde a integral definida, a esencia do que foi para atopar o volume ou área de forma curvilínea (plan tridimensional e bidimensional, respectivamente). cálculo baseouse no principio de división da figura orixinal en compoñentes infinitesimais, sempre que o volume (área) xa é coñecido a eles. Co tempo, o método foi crecendo, Archimedes usou para atopar a área dunha parábola. Cálculos similares á vez para realizar exercicios na China antiga, onde estaban totalmente independente da ciencia compañeiro grego.

desenvolvemento

O seguinte avance o século BC XI tornouse o traballo do estudioso árabe "wagon" Abu Ali Al Basri, que empuxou os límites do xa coñecido, foron obtidos a partir da fórmula integral para calcular as sumas dos valores e clases do primeiro ao cuarto, aplicando a este coñecido por nós método de indución.
Mentes de hoxe son admirados polos antigos exipcios crearon os monumentos sorprendentes sen ferramentas especiais, con exclusión das súas propias mans, pero é non é un poder científicos tolos de non menos que un milagre? En comparación cos tempos actuais das súas vidas parecen case primitivo, pero a decisión de integrais indefinidas deducida en todas partes e utilizado na práctica para o desenvolvemento.

O seguinte paso ocorreu o século XVI, cando o matemático italiano Cavalieri trouxo método indivisible, que colleu Per Ferma. Estes dous personalidade lanzou as bases para o cálculo integral moderna, que é coñecido no momento. Eles ataron os conceptos de diferenciación e integración, que anteriormente eran vistos como unidades independentes. Dun modo xeral, a matemática da época era partículas fragmentadas achados existe por si mesmos, con uso limitado. Forma de unir e atopar un terreo común era a única verdade no momento, grazas a el, a moderna análise matemática tivo a oportunidade de crecer e desenvolverse.

Co pasar do tempo cambia todo eo símbolo integrante tamén. En xeral, foi designado científicos que, á súa maneira, por exemplo, Newton usado unha icona cadrado, o que puxo unha función integrable, ou simplemente poñer xuntos. Esta disparidade durou ata o século XVII, cando un marco para toda a teoría da análise matemática científico gotfrid Leybnits introduciu un personaxe tan familiar para nós. Alongado "S" é, en realidade, a partir desta carta do alfabeto romano, xa que denota a suma de primitivas. O nome do integrante obtida grazas a Jakob Bernoulli, despois de 15 anos.

A definición formal

A integral indefinida depende da definición do primitivo, así que nós consideramos primeiro.

Primitiva - é a función inversa do derivado, na práctica, é chamado primitivo. Doutro xeito: función primitiva d - é unha función de D, o cal é o derivado v <=> V '= v. Buscar primitiva é calcular a integral definida, eo propio proceso chámase integración.

exemplo:

A función s (y) = y ^3, eo seu S primitivo (y) = (y ^4/4).

O conxunto de todas as primitivas da función - esta é unha integral definida, denotado lo do seguinte xeito: ∫v (x) dx.

En virtude do feito de que V (x) - son só algúns función primitiva, expresión contén: ∫v (x) dx = (X) V C, en que C - constante. Baixo a constante arbitraria refírese a calquera constante, xa que o seu derivado é cero.

propiedades

As propiedades posuídas pola integral indefinida, esencialmente, con base na definición e propiedades de derivados.
Considere os puntos clave:

• derivado integrante da primitiva e primitivo en si, unha constante arbitraria C <=> ∫V '(x) dx = (x) + C V;
• derivado do integral dunha función é a función orixinal <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• constante é eliminado de debaixo do sinal integrante <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, onde k - é arbitraria;
• integrante, que se toma a partir da suma do identicamente igual á suma dos integrais <=> ∫ (V (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

As dúas últimas propiedades poden ser concluíu que a integral definida é lineal. Debido a isto, tense: ∫ (kV (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w dy (y).

Para ver exemplos de fixación solucións integrais indefinidos.

Ten que atopar o ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Desde o exemplo, podemos concluír que non sabe como resolver integrais indefinidos? Só ten que atopar todos os primitivos! Pero a busca polos principios discutidos abaixo.

Métodos e exemplos

Co fin de resolver o completo, pode recorrer aos seguintes métodos:

• listo para sacar proveito da mesa;
• integración por partes;
• integrado, substituíndo a variable;
• sumando-se baixo o signo do diferencial.

táboas

O xeito máis sinxelo e agradable. Polo momento, a análise matemática pode gabar-se mesas moi extensas, que enunciados fórmula básica de integrais indefinidas. Noutras palabras, hai modelos derivados ata e só se pode sacar proveito deles. Aquí está a lista dos principais posicións da táboa, que poden aparecer practicamente todos os casos, ten unha solución:

• ∫0dy = C, en que C - constante;
• ∫dy = Y + C, en que C - constante;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, en que C - un constante, e n - número diferente de unidade;
• ∫ (1 / Y) dy = ln | y | + C, en que C - constante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , en que C - constante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, en que C - constante;
• ∫cosydy = siny + C, en que C - constante;
• ∫sinydy = -cosy + C, en que C - constante;
• ∫dy / cos y = ² TGY + C, en que C - constante;
• ∫dy / sen y = ² -ctgy + C, en que C - constante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, en que C - constante;
• ∫chydy = tímida + C, en que C - constante;
• ∫shydy = Chy + C, en que C - constante.

Se é necesario, faga un par de pasos levan integrando a unha visión tabular e gozar da vitoria. Exemplo: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

De acordo coa decisión, está claro que, por exemplo, unha mesa integrando carece multiplicador 5. Nos engadir lo en paralelo con esta multiplicación por 1/5 a expresión xeral non se alterou.

Integración por partes

Considere dúas funcións - Z (y) e X (y). Deben ser continuamente diferenciável no seu ámbito. Nun propiedades de diferenciación temos: D (XZ) = XDZ + zdx. Integrando ambos os dous lados, temos: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Reescribir a ecuación resultante, temos a fórmula, que describe o método de integración por partes: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Por que é necesario? O feito de que algúns dos exemplos é posible simplificar, imos dicir, para reducir ∫xdz ∫zdx, se este último está preto da forma tabular. Ademais, esta fórmula pode ser usado máis dunha vez, para obter resultados óptimos.

Como resolver integrais indefinidos deste xeito:

• necesario calcular ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} S 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = Correo 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2S / 4 + C;

• debe calcular ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, Y = S, dy = ds} = SLNs - ∫s x ds / S = SLNs - ∫ds = SLNs -s + C = S (lns-1) + C.

Substituíndo a variable

Este principio de resolver integrais indefinidos non son menos necesarios que os dous anteriores, aínda que complicada. O método é como segue: Sexa V (x) - o integral de algunha función V (x). No caso de que, en si integrante no exemplo slozhnosochinenny vén, é probable que se confunden e descenda as solucións camiño mal. Para evitar esta modificación práctica da variable x para z, en que a expresión xeral visualmente simplificado mentres se mantiña a z dependendo x.

En termos matemáticos, isto é: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), onde x = y ( z) - substitución. E, por suposto, a función inversa z = y ^-1 (x) describe completamente a relación ea relación de variables. Nota importante - o dx diferencial necesariamente substituído por un novo dz diferencial, xa que o cambio de variable na integral indefinida implica substitúe-lo en todas partes, non só no integrando.

exemplo:

• deben atopar ∫ (s + 1) / ² + (s 2s - 5) DS

Aplicar a substitución z = (s + 1) / ⁽² + s 2s-5). Logo dz = 2sds = 2 + 2 (S + 1) ds <=> (s + 1) dz = ds / 2. Como resultado, a seguinte expresión, que é moi fácil de calcular:

∫ (s + 1) / ² + (s 2s-5) ds = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2LN | S ² + 2s-5 | + C;

• ten que atopar a integral ∫2 ^s e ^s dx

Para resolver o reescrita do seguinte xeito:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} DS 2E) s.

Denotamos por a = 2E (substitución do argumento este paso non é, aínda está s), damos a nosa aparentemente complicada integral á forma básica de táboa:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = un s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 e ^{n s} / (In2 +1) + C.

Resumindo un sinal diferencial

Dun modo xeral, a rede de integrais indefinidas - o irmán xemelgo do principio do cambio de variable, pero hai diferenzas no proceso de rexistro. Imos considerar en máis detalles.

Se ∫v (x) dx = (x) + C e y = z (x), entón ∫v (y) dy = V (y) + C V

Ao mesmo tempo, non hai que esquecer as transformacións integrais triviais, entre os cales:

• dx = D (x + a), e en que - cada unha constante;
• dx = (1 / a), d (ax + b), en que un - constante de novo, pero non cero;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = D (cosx);
• cosxdx = D (sen x).

Se consideramos o caso xeral en que o cálculo da integral definida, exemplos poden ser incluído no ámbito da fórmula xeral W '(x) dx = D (x).

exemplos:

• deben atopar ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

axuda en liña

Nalgúns casos, o fallo dos cales se pode facer ou preguiza, ou unha necesidade urxente, pode utilizar as instrucións en liña, ou mellor, para usar unha calculadora integrais indefinidas. A pesar da aparente complexidade e natureza controvertida das integrais, a decisión está suxeita ao seu algoritmo específico, que está baseado no principio de "se non ... entón ...".

Claro, algúns exemplos particularmente complexas de tal calculadora non vai dominar, pois hai casos en que unha decisión ten de atopar un artificialmente "forzada" a través da introdución de determinados elementos do proceso, xa que os resultados son formas obvias para chegar. A pesar da natureza controvertida desta declaración, é verdade, como a matemática, en principio, unha ciencia abstracta, eo seu obxectivo primordial considera a necesidade de capacitar as fronteiras. De feito, para un bo correr connosco teorías é moi difícil moverse e evolucionar, polo tanto, non asumen que os exemplos de resolver integrais indefinidas, que nos deu - esta é a altura de oportunidades. Pero ao seu lado técnico das cousas. Polo menos para comprobar os cálculos, pode utilizar o servizo en que foi escrito para nós. Se hai unha necesidade de cálculo automático de expresións complexas, entón eles non teñen que recorrer a un programa máis grave. Debe prestar atención sobre todo no ámbito Matlab.

aplicación

A decisión de integrais indefinidos, a primeira vista parece totalmente afastado da realidade, porque é difícil ver a obvia uso do avión. De feito, usar directamente en calquera lugar que non pode, pero son un elemento intermedio necesario no proceso de retirada das solucións empregadas na práctica. Así, a integración de diferenciación de volta, participando así activamente do proceso de resolución de ecuacións.
Pola súa banda, estas ecuacións teñen un impacto directo sobre a decisión de problemas mecánicos, cálculo de traxectoria e condutividade térmica - en suma, todo o que constitúe o presente e moldes o futuro. exemplos integral indefinida, do cal xa considerados anteriormente, só trivial, a primeira vista, como unha base para levar a cabo cada vez máis novos descubrimentos.