A hipótese de Riemann. Distribución dos números primos

En 1900, un dos maiores científicos do século pasado, David Hilbert fixo unha lista composta por 23 problemas non resoltos da matemática. Traballar con eles houbo un enorme impacto sobre o desenvolvemento deste campo do coñecemento humano. Despois de 100 anos no Instituto de Matemáticas arxila presentou unha lista de sete problemas, coñecidos como os Obxectivos do Milenio. Para a decisión de cada un deles foi ofrecido o premio de US $ 1 millón.

O único problema, que estaba entre as dúas listas de crebacabezas, hai séculos non dar descanso para os científicos, tornouse a hipótese de Riemann. Ela aínda está á espera da súa decisión.

breves informacións biográficas

Georg Friedrich Bernhard Riemann naceu en 1826 en Hanover, nunha gran familia dun pastor pobre, e viviu só 39 anos de idade. Conseguiu publicar 10 artigos. Con todo, durante a vida de Riemann el consideraba un sucesor do seu profesor Johann Gauss. Aos 25 anos, mozo científico defendeu a súa tese "Fundacións da teoría de funcións dunha variable complexa." Máis tarde el formulou a súa hipótese, que se fixo famoso.

primes

Matemáticas chegou cando o home aprendeu a contar. Logo xurdiu a primeira idea dos números, que máis tarde tentaron clasificar. Foi observado que algúns deles teñen propiedades comúns. En particular, entre os números naturais m. E. aquelas que foron utilizados no cálculo (numeración) ou o Nero designado de artigos foi atribuída a un grupo de tales que son divididos por só unha e-se. Eles foron chamados simple. Un elegante proba do teorema conxunto infinito de números datos Euclides nos seus "Elementos". Polo momento, estamos a seguir a súa busca. En particular, a maior de un número de coñecidos ^{2 74207281} - 1.

A fórmula de Euler

Xunto coa noción de infinitos números primos Euclides definido eo segundo teorema a única fatoração posible. Segundo el calquera enteiro positivo é o produto de só un conxunto de números primos. En 1737, o gran matemático alemán Leonhard Euler expresa primeiro do teorema de Euclides no infinito da fórmula mostrada abaixo.

El é chamado a función zeta, onde s - unha constante e P é todo valores simple. De la directamente seguido e aprobación da singularidade da expansión de Euclides.

Función zeta de Riemann

fórmula de Euler nunha análise máis aprofundada é moi notable, como determinado pola razón entre a simple e enteiros. Ao final, no seu lado esquerdo son multiplicados infinitamente moitas expresións que dependen só simple, e na cantidade correcta é asociado con todos os enteiros positivos.

Riemann pasou Euler. Co fin de atopar a clave para o problema da distribución dos números, proponse definir a fórmula para a variable real e complexa. Foi ela que máis tarde ficou coñecido como a función zeta de Riemann. En 1859, o científico publicou un artigo titulado "Sobre o número de primos que non exceden un valor predeterminado", que resumiu as súas ideas.

Riemann propón o uso dun número de Euler, converxente para todo s reais> 1. A mesma fórmula usada para s complexos, entón a serie pode converxer para calquera valor da variable coa parte real é maior que 1. Riemann usou a continuación analítica do proceso, expandindo a definición de Zeta (s) para todos os números complexos, pero "xogar" unidade. Non se puido, porque se s = 1 Zeta función aumenta ata o infinito.

sentido práctico

Xorde a pregunta: Cal é a función zeta interesante e importante, que é crucial para o traballo de Riemann na hipótese nula? Como vostede sabe, no momento non atopou un patrón sinxelo que describe a distribución de números primos entre o natural. Riemann capaz de detectar que o número de pi (x) de números primos, que non son superiores a x, exprésase pola distribución de función cero Zeta non trivial. Ademais, a hipótese de Riemann é unha condición necesaria, a fin de probar que a valoración temporais de determinados algoritmos criptográficos.

A hipótese de Riemann

Unha das primeiras formulacións deste problema matemático, non comprobada ata hoxe, é: trivial función 0 Zeta - números complexos con parte real igual a ½. Noutras palabras, son dispostos sobre unha liña recta Re s = ½.

Hai tamén unha hipótese de Riemann xeneralizada, que é a mesma declaración, pero para a xeneralización das Zeta funcións, que son chamadas a Dirichlet (ver. Foto abaixo) L-funcións.

Na fórmula χ (n) - un carácter numérico (mod k).

A declaración de Riemann é a chamada hipótese nula, como foi revisado para consistencia cos datos de mostra existentes.

Como argumentou Riemann

Nota matemático alemán foi orixinalmente formulada moi casualmente. O feito é que, naquela época o científico estaba indo a probar un teorema sobre a distribución dos números primos, e, neste contexto, esta hipótese non ten moito efecto. Con todo, o seu papel na resposta aos moitos outros asuntos é enorme. É por iso que a hipótese de Riemann de momento moitos científicos recoñecen a importancia de problemas matemáticos non comprobadas.

Como xa se dixo, para probar o teorema sobre a distribución da hipótese completo Riemann non é necesario, e loxicamente probar que a parte real de calquera non-trivial cero da función zeta é entre 0 e 1. Esta propiedade implica que a suma de todas 0-M función zeta que aparecen na fórmula exacta anterior, - finito constante. Para grandes valores de x, todo pode ser perdido. O único membro da fórmula, que se manteñen inalteradas, mesmo a moi altas x, x é el mesmo. O resto dos termos complexos en comparación con el asymptotically desaparecer. Así, a suma pesada tende a x. Este feito pode ser considerado como proba da verdade do teorema do número primo. Así, os ceros da función Riemann zeta parece un papel especial. E para demostrar que estes valores non poden contribuír significativamente á fórmula de expansión.

seguidores de Riemann

A tráxica morte de tuberculose impediu que o científico traer ao fin lóxico do programa. Con todo, tomou o bastón do W-F. de la Vallée Poussin e Zhak Adamar. Independentemente un do outro tiñan retirado teorema do número primo. Hadamard e Poussin conseguiu demostrar que toda a función 0 Zeta non trivial están situados dentro da banda crítica.

Grazas ao traballo destes científicos, unha nova rama da matemática - teoría analítica de números. Posteriormente, outros investigadores recibiron algo de proba máis primitivo do teorema estaba a traballar en Roma. En particular, Pal Erdös e Atle Selberg abriron aínda que confirma a súa cadea altamente complexo da lóxica, non requiren o uso de análise complexa. Con todo, neste momento a idea de Riemann por varios teoremas importantes foron comprobadas, incluíndo a aproximación das moitas funcións da teoría dos números. En conexión con este novo traballo Erdös e Atle Selberg practicamente calquera cousa que non foi afectada.

Unha das evidencias máis simple e máis fermosa do problema se atopou en 1980 por Donald Newman. Foi baseado no teorema de Cauchy ben coñecido.

Ameazada a hipótese de Riemann é a base da criptografía moderna

A encriptación de datos xurdiu coa aparición de personaxes, ou mellor, eles mesmos poden ser considerados como o primeiro código. Polo momento, hai toda unha nova tendencia de cifrado dixital, que está involucrada no desenvolvemento de algoritmos de cifrado.

Simple e "semisimples" número m. E. Os que só son divididos en dous números da mesma clase, son a base dun sistema de clave pública, coñecido como RSA. Ten unha ampla aplicación. En particular, é usado na xeración dunha sinatura electrónica. Se falamos en termos de "bule" dispoñibles, a hipótese de Riemann afirma a existencia do sistema na distribución de números primos. Así, reduciu significativamente a resistencia de claves criptográficas, da cal depende a seguridade de transaccións en liña en e-commerce.

Outros problemas matemáticos non resoltos

artigo por pena dedicar unhas palabras para outras tarefas do milenio. Estes inclúen:

• Igualdade das clases P e NP. O problema é formulado como segue: unha resposta positiva a unha determinada cuestión é revisada en tempo polinomial, entón é certo que el mesmo a resposta a esta pregunta pode ser atopada rapidamente?
• conxectura Hodge. En palabras simples, pódese afirmar o seguinte: para algúns tipos de variedades alxébricas proxectos (espazos) Ciclos de Hodge son combinacións de obxectos que teñen unha interpretación xeométrica, é dicir, ciclos Números ...
• conxectura de Poincaré. É a única comprobada aos problemas momento do milenio. Segundo el calquera obxecto tridimensional tendo propiedades específicas da esfera 3-dimensional, a esfera que ter unha precisión de deformación.
• Aprobación do quantum Yang - teoría Mills. Necesitamos demostrar que a teoría cuántica, presentadas por estes científicos ao espazo ^R4, hai un defecto 0 masivo para calquera simple de calibración dun grupo compacto G.
• A hipótese do Birch - Swinnerton-Dyer. Este é outro problema que é relevante á criptografía. Trátase das curvas elípticas.
• O problema da existencia e suavidade de solucións das ecuacións de Navier - Stokes.

Agora xa sabe a hipótese de Riemann. En palabras simples, formulamos e algúns dos outros obxectivos do milenio. O feito de que eles serán resoltos ou se é probado que eles non teñen ningunha solución - é cuestión de tempo. E é improbable que isto ten que esperar moito tempo, como as matemáticas están empregando cada vez máis poder computacional de ordenadores. Con todo, non todo está suxeito á arte e para resolver problemas científicos require principalmente intuición e creatividade.