A derivada do seno do ángulo é igual ao coseno do mesmo ángulo

Dada a función de trigonometría máis simple y = Sin (x), é diferenciable en cada un dos seus puntos de todo o dominio de definición. É necesario probar que a derivada do seno de calquera argumento é igual ao coseno do mesmo ángulo, isto é, y '= Cos (x).

A proba baséase na definición da derivada da función

Definimos x (arbitrarios) nun pequeno vecindario Δx dun punto particular x0. Mostremos o valor da función nel e no punto x para atopar o incremento dunha función dada. Se Δx é o incremento do argumento, entón o novo argumento é x ₀ + Δx = x, o valor desta función para un valor determinado do argumento y (x) é Sin (x ₀ + Δx), o valor da función nun punto particular y (x ₀ ) .

Agora temos Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) é o incremento da función obtida.

Pola fórmula sinuosa da suma de dous ángulos desiguais, transformaremos a diferenza Δy.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) menos Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx).

Realizou unha permutación dos termos, agrupados primeiro co terceiro Sin (x ₀ ), realizado un multiplicador común - seno - para os soportes. Obtivemos na expresión a diferenza Cos (Δx) -1. Queda para cambiar o sinal diante do soporte e entre parénteses. Sabendo cal é 1-Cos (Δx), realizamos unha substitución e obtemos unha expresión simplificada Δy, que entón dividimos por Δx.
Δy / Δx terá a forma: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0.5 · Δx) · Sin (x ₀ ) / Δx. Esta é a razón do incremento da función co incremento permitido do argumento.

Queda por atopar o límite da razón lim obtida para Δx tendendo a cero.

Sábese que o límite Sin (Δx) / Δx é igual a 1, baixo esta condición. A expresión 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx no cociente resultante redúcese ao produto que contén o primeiro límite notable como multiplicador: divide o numerador e denominador da fracción por 2, substitúe o cadrado do sinus polo produto. Aquí así:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
O límite desta expresión para Δx tendendo a cero é igual a cero (1 multiplicado por 0). Resulta que o límite da razón Δy / Δx é Cos (x ₀ ) · 1-0, isto é Cos (x ₀ ), unha expresión que non depende de Δx tendendo a 0. Isto conduce á conclusión de que a derivada senoidal de calquera ángulo x é Cosine x, escribimos como y '= Cos (x).

A fórmula resultante ingresa na táboa de derivados coñecida, onde todas as funcións elementais

Ao resolver problemas onde se produce o derivado dun seo, pódense empregar as regras de diferenciación e fórmulas preparadas da táboa. Por exemplo: atopar a derivada da función máis sinxela y = 3 · Sin (x) -15. Utilizamos as regras elementais de diferenciación, a eliminación do factor numérico detrás do signo da derivada, eo cálculo da derivada dun número constante (é cero). Aplicamos o valor tabulado da derivada do seno do ángulo x, igual a Cos (x). Recibimos a resposta: y '= 3 · Cos (x) -O. Este derivado, á súa vez, tamén é unha función elemental y = 3 · Cos (x).

A derivada do seo está cadrada desde calquera argumento

Ao calcular esta expresión (Sin ² (x)) ', é necesario recordar como se diferencia a función complexa. Entón, y = pecado ² (x) - é unha función de potencia, xa que o seno é cadrado. O seu argumento é tamén unha función trigonométrica, Argumento complexo. O resultado neste caso é igual ao produto cuxo primeiro factor é a derivada do cadrado do argumento complexo dado, eo segundo é o derivado do seo. Así é como se ve a regra para diferenciar unha función dunha función: (u (v (x))) 'é igual a (u (v (x)))' (v (x)) '. A expresión v (x) é un argumento complexo (función interna). Se a función "igrok é igual ao seo no cadrado x" é dada, entón a derivada desta función complexa é y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). No produto, o primeiro multiplicador duplicado é a derivada da función de potencia coñecida, e Cos (x) é o derivado do sino, o argumento dunha función cuadrática complexa. O resultado final pode ser transformado empregando a fórmula sinusoidal do dobre ángulo. Resposta: o derivado é Sin (2 · x). Esta fórmula é fácil de lembrar, a miúdo úsase como tabular.