Quinto postulado de Euclides: o texto

Crese que había 10 000 anos, a primeira civilización humana. Comparado coa idade do noso planeta, que, segundo os científicos, é de preto de 4,54 millóns de anos, este é só un breve momento. Para iso a humanidade "momento" ten feito un gran salto a partir das ferramentas de pedra primitivos a nave interplanetaria. Non sería posible, de cando en vez no planeta nacería un xenio, ciencia avanza. Entre eles, por suposto, se refire Euclides. As súas obras tornáronse a fundación e un poderoso impulso para o desenvolvemento da matemática moderna.

Este artigo é sobre o quinto postulado de Euclides ea súa historia.

Como a xeometría

Xa que os terreos foron obxecto de aluguer, o seu tamaño e área de venda e entrega debe ser medida, incluíndo a través de cálculos. Ademais, tales cálculos facer-se necesario na construción de estruturas de gran escala, así como medir o volume de elementos diferentes. Todo isto converteuse en requisitos de 3-4 mil anos en Exipto e en Babilonia levantamento art. Foi empíricamente e é unha colección de varios centos de exemplos de resolución de problemas concretos, sen evidencia.

Como unha ciencia sistemática da xeometría desenvolvido na Grecia antiga. Xa no século III aC, houbo unha gran oferta de feitos e métodos evidencias. Con todo, xurdiu o problema suficientemente grande para resumir o material recollido xeométrico. Ela tentou resolver Hipócrates Fedii e outros filósofos gregos antigos. Con todo, loxicamente verificada sistema científico había só uns 300 anos antes de Cristo. e. coa publicación do "Principia".

Quen era Euclid

Grecia antiga deu ao mundo moitos dos grandes filósofos e científicos. Unha delas é a Euclides, que se tornou o fundador da escola de Alexandría da matemática. Sobre o científico practicamente nada se sabe. Algunhas fontes indican que o novo pai futuro da xeometría moderna estudou na famosa escola de Platón en Atenas, e despois volveu para Alexandría, onde continuou a estudar matemáticas e óptica, así como compoñer música. Na súa cidade natal, el fundou unha escola, onde, xunto cos alumnos e creou o seu famoso traballo, que hai máis de dous mil anos é a base para calquera libro de xeometría plana e xeometría sólida.

"Elementos" de Euclides

O traballo sistemático principal e máis primeiro na xeometría consiste en 13 volumes. Os primeiros catro eo sexto libros tratan de xeometría plana, e 11, 12 e 13 - xeometría sólida. Como para os outros volumes, que están dedicados a aritmética, que é o punto de vista de postulados xeométricas.

O papel do principal obra de Euclides no desenvolvemento posterior de ciencias matemáticas non pode ser superestimada. listas existentes de papiro varios do orixinal, así como manuscritos bizantinos.

Na Idade Media, "Elementos" de Euclides foron estudados principalmente polos árabes, que lles unha das maiores obras do pensamento humano e científico de Damasco considerar. Máis tarde estas obras interesou os europeos. Coa chegada da impresión ciencia, incluíndo a xeometría euclidiana non ser coñecido soamente aos elixidos. Despois da primeira edición en 1533. "Elements" están dispoñibles para todos os que desexen comprender o mundo, e hai máis e máis cada ano. A demanda creou subministración, polo que se cre que este traballo é o segundo máis lido entre os monumentos da antigüidade tras a Biblia.

algunhas características

O "Elementos" describe as propiedades métricas de espazo tridimensional, baleiro, sen límites e isotrópico, que é normalmente chamado euclidiana. Considérase ser unha área onde hai fenómenos da física clásica de Galileo e Newton.

Elemental obxecto xeométrico, segundo Euclides, é o punto. O segundo concepto importante - o infinito de espazo, o cal é caracterizado por os tres primeiros postulados. A cuarta relación á igualdade de ángulos rectos. En relación ao quinto postulado de Euclides, a continuación, el determina as propiedades e da xeometría do espazo euclidiano.

Segundo os científicos, clásica pai xeometría creado un libro perfecto, cuxo estudo eliminar calquera malentendido sobre o material por mor da forma como a súa presentación. En particular, cada volume dos "Elementos" comeza coa definición dos conceptos atopados por primeira vez. En particular, desde as primeiras páxinas do primeiro libro, o lector descobre que un punto, liña recta e así por diante. En total, ten un 23 axustes necesarios para a comprensión das principais disposicións do material presentado neste traballo fundamental.

4 o primeiro axioma e postular Euclid

Despois dun dos autores do "Elements" ofrece resultados que son válidos sen probas. Estas el divide en axiomas e postulados. O primeiro grupo está composto por 11 afirmacións que o home coñecido intuitivamente. Por exemplo, 8 axioma que o todo é maior que a parte, e de acordo coas dúas primeiras cantidades, ademais iguais a tres, iguais un ó outro.

Ademais, fai que 5 Euclides postula. Os catro primeiros ler o seguinte:

• desde calquera punto a calquera outro, pode debuxar unha liña recta;
• desde calquera centro de cada raio é posible describir un círculo;
• A liña limitado pode estender-se continuamente en liña recta;
• todos os ángulos rectos son iguais.

quinto postulado de Euclides

Por máis de dous milenios, esta declaración repetidamente converteuse obxecto de atención dos matemáticos. Pero, primeiro, familiarizarse co contido do quinto postulado de Euclides. Polo tanto, na formulación moderna soa como se nun plano na intersección de dúas lineal unilateral terceira suma dos ángulos internos de menos que 180 °, entón estas liñas, continuando máis tarde ou máis cedo, se atopan na parte na que esta cantidade (cantidade) de menos que 180 °.

quinto postulado de Euclides, que é o texto en diferentes fontes é diferente desde o inicio fixo que o deporte e quere traducir-lo na categoría de teoremas a través da construción dunha proba de son. By the way, moitas veces é substituída por outra expresión, en realidade, inventou maldito e tamén coñecido como o axioma da Playfair. Di o seguinte: nun avión a través dun punto que non pertence a unha determinada liña pode deter unha e só unha liña recta paralela a esta.

idioma

Como xa se mencionou, moitos científicos intentaron diferentes expresar a idea da 5ª postulado de Euclides. Moitas formulacións son bastante evidentes. Por exemplo:

• liñas converxentes cruzan;
• hai, polo menos, un rectángulo, é dicir, 4-cadrado con catro ángulos rectos;
• cada figura pódese proporcionalmente aumentada;
• hai un triángulo ter ningún, área arbitrariamente grande.

deficiencias

xeometría euclidiana foi das máis grandes obras matemáticas de antigüidade e ata o século 19, el reinou inconteste na matemática. A pesar diso, algunhas das súas deficiencias foron observados mesmo polos contemporáneos do autor, e antigo sabio grego que viviu un pouco máis tarde. En particular, el engadiu un novo axioma de Arquímedes, en homenaxe a el. Di que hai un enteiro n, que é n · [AB]> [CD] para todos os segmentos AB e CD.

Ademais, os científicos tratan de minimizar o sistema de axiomas euclidianos e postulados. Para iso, eles levaron algúns deles fóra do descanso.

Por iso, conseguiu "librarse" da 4ª postulado de igualdade de ángulos rectos. Para el, unha proba rigorosa se atopou, el mudouse para a categoría de teoremas.

Historia 5 postulado na Antigüidade e inicio da Idade Media

A formulación clásica desta declaración xeometría euclidiana parece moito menos evidente que os outros catro. Este feito matemáticos asombradas.

O obstáculo para o quinto postulado euclidiana foi a definición de paralelismo das dúas liñas A e B, que indica que a suma dos dous ángulos unilaterais que son formados pola intersección de a e b unha terceira liña recta C, igual a 180 graos.

O primeiro intento de probar isto como un teorema foi feita pola antiga xeómetra grego Posidonius. El propuxo a considerar un paralelo directo ao plano do conxunto de todos os puntos que son eqüidistantes do orixinal. Con todo, aínda que este non permitiu Posidonius atopar probas 5ª postulado.

Nin sen éxito e os intentos de outros matemáticos, incluíndo medievais, como o árabe Ibn Korra e Khayyam. O único que foi alcanzado - a aparición de novos postulados, o que pode ser comprobado con base en varios supostos.

Nos 18-19-th séculos

xeometría clásica continuou a estar interesado en matemáticas e, no século 18. En particular, o suficientemente preto do postulado paralelo proba podería vir Francés matemático A. Legendre. Escribiu un libro notable "Elementos de xeometría", que é preto de 150 anos foi o principal ensino das matemáticas nas escolas Imperio ruso. Nel, o científico deu tres opcións de probar o axioma paralelo euclidiana, pero todos eles resultou ser incorrecta.

No inicio do século 19, a idea de crear unha xeometría non euclidiana. A primeira descrición do sistema, independente do quinto postulado, levou un enxeñeiro militar J. Bolyai. Pero tiña medo de seu descubrimento e non perseguir a idea, crendo que mal. O éxito non foi capaz de alcanzar eo gran matemático alemán Gauss.

avance

Por máis de 2000 anos de quinto postulado de Euclides, a proba de que intentou atopar centos de científicos, permaneceu o problema número un en matemáticas. Breakthrough feita matemático ruso NI Lobachevski. Para el, o primeiro do mundo conseguiu describir as propiedades de espazo real, probando que a xeometría euclidiana "funciona" só no caso particular do seu sistema.

N. I. Lobachevski inicialmente foi polo mesmo camiño que o dos seus compañeiros. Tentando probar a 5ª postulado, non puido. A continuación, o científico rexeitou representación euclidiana, segundo a cal os ángulos dun triángulo suma igual a 180 graos. A continuación, el intentou probar esta afirmación por contradición e ten unha nova redacción ao quinto postulado. Agora, el admitiu a existencia de varias liñas paralelas a esta, e pasando por un punto deitado fóra desta liña.

nova xeometría

Non ten sentido discutir quen fixo máis para as matemáticas. O papel de Euclides e Lobachevski influencia comparable sobre a formación e desenvolvemento de Newton ea física de Einstein. Ao mesmo tempo, o novo, xeometría absoluta é posible considerar a noción de espazo, rompendo co método clásico "pode comprender só o que se pode medir." Pero tal visión practicada na ciencia hai miles de anos.

Desafortunadamente, as ideas de xeometría Lobachevskii non foron aceptadas e comprendidos polos seus contemporáneos. En particular, os seus alumnos non continuou o traballo do científico, eo desenvolvemento da xeometría non euclidiana foi adiada por varias décadas.

Algunhas características da teoría Lobachevskii

Para entender a nova xeometría, é necesario considerar o infinito cósmico. En realidade, é difícil imaxinar que a inmensidade do universo é a suma dos espazos lineares.

xeometría Lobachevski se usa para describir espazos curvos que son creados polos campos gravitacionais de galaxias. Ela permitiu afastarse do método da atención de todos os números para o "case seguro" cilindro, círculo, pirámide, ou calquera combinación destas formas. Por, exemplo, en realidade, o noso planeta - sen balón, eo xeoide, é dicir, un valor que é obtido a través de contorno o contorno exterior da litosfera (casca dura) da Terra ...

Na vida real, hai tamén análogos de espazos curvos do universo, que permite introducir a posibilidade da existencia de varias liñas paralelas do paso a través do mesmo punto. En concreto, esta superficie curva dos tres tipos que son alocados xeómetra italiano Beltrami e nomeado E. pseudoesfera.

Maior desenvolvemento da teoría da Lobachevski

Outstanding ruso non foi o único que non se quere absoluto da xeometría euclidiana. En particular, o matemático Riemann en 1854 lanzou a idea da posibilidade da existencia de espazos de cero, curvatura positiva e negativa. Isto significa que pode crear un número infinito de diferentes xeometrías non-clásicas.

Sobre a posición de Riemann, que estudou principalmente espazo con curvatura positiva, a 5ª postulado de Euclides soa moi de vez. Segundo as súas ideas, a través dun punto fora dunha determinada liña non pode realizar calquera liña paralela a esta.

Moi diferente é o caso cos espazos cero, curvatura negativa e positiva da teoría de Klein. En particular, no primeiro caso, son descritos por unha xeometría parabólica, un caso especial é o clásico, o segundo - obedecer ideas Lobachevskian, eo terceiro - consistente cos descritos por Riemann.

Trala publicación de Alberta Teoría Eynshteyna da Relatividade, a presentación de tales espazos complementar os datos que teñen en conta a existencia de catro medidas interdependentes e cambiando - peso, potencia, velocidade e tempo.

na práctica

Se vai para a percepción humana do espazo dentro da órbita da Terra para o xigante maior triángulo posible do posible desvío da suma dos ángulos internos de 180 graos make clásico só catro milionésimos de segundo. Este valor está alén das capacidades do Homo sapiens, polo que "terrea" A demanda é a xeometría euclidiana.

Queda esperar a que son creadas condicións que permiten a obtención de datos experimentais para confirmar ou refutar a teoría da N. Lobachevski e Riemann través da galaxia.

Agora xa sabe que declara quinto postulado de Euclides ea súa historia, o que é moi instrutivo, e permítenos trazar a evolución da mente humana ao longo dos últimos 2300 anos.