Números reais e as súas propiedades

Pitágoras afirmou que o número é a fundación do mundo en pé de igualdade cos principais elementos. Platón pensaba que o número de conexións do fenómeno eo númeno, axudando a saber, sendo pesado e sacar conclusións. Aritmética vén da palabra "arifmos" - o número, o punto de partida en matemáticas. Pode describir calquera obxecto - do básico ao espazos abstractos mazá.

Necesidades como factor de desenvolvemento

Nos estadios iniciais do desenvolvemento da sociedade as necesidades das persoas constrangidas pola necesidade de manter a puntuación - .. Unha bolsa de grans, dous bolsa de grans, etc Para iso, foi números naturais, o conxunto que é unha secuencia infinita de enteiros N. positiva

Máis tarde, o desenvolvemento da matemática como unha ciencia, era necesario no campo específico de enteiros Z - que inclúe valores negativos e cero. A súa aparición a nivel nacional, foi provocada polo feito de que a contabilización inicial tiña que reparar dalgún xeito as débedas e perdas. Nun nivel científico, os números negativos fixeron posible para resolver simple ecuacións lineares. Entre outras cousas, é agora posible para unha imaxe do sistema trivial coordinar, ie. A. Houbo un punto de referencia.

O paso seguinte foi a necesidade de escribir números fracionários, xa que a ciencia non para, máis e máis novos descubrimentos esixiu unha base teórica para un novo crecemento impulso. Entón, houbo un campo de números racionais Q.

Por último, non cumpren as esixencias da racionalidade, porque todas as novas descubertas requiren xustificación. Había un campo de números reais R, as obras de incomensurabilidade de determinadas cantidades debido á súa irracionalidade de Euclides. Isto é, o antigo matemático grego posicionado non só como un número constante, senón como un valor resumo que se caracteriza pola proporción de magnitudes incomensuráveis. Debido ao feito de que hai números reais, "vimos a luz" valores como a "pi" e "e" sen a cal a matemática moderna non podería ocorrer.

A innovación final dun número complexo C. El respondeu unha serie de preguntas e refutou postulados introducidos anteriormente. Debido ao rápido desenvolvemento de resultado álxebra era previsible - con números reais, a decisión de moitos problemas non se pode. Por exemplo, grazas aos números complexos destacouse a teoría das cordas e ecuacións caos ampliada da hidrodinámica.

Teoría dos conxuntos. cantante

O concepto de infinito sempre causou polémica, xa que era imposible probar ou refutar. No contexto da matemática, que é operador postulados estrictamente verificados, manifestouse máis obviamente, máis que o aspecto teolóxico aínda pesaba en ciencia.

Con todo, a través do traballo do matemático Georg Cantor todos os tempos caeu no lugar. El demostrou que os conxuntos infinitos existe un conxunto infinito, e que o campo R é maior que o campo N, deixe ambos e non ter fin. No medio do século XIX, as súas ideas chamado publicamente un disparate e un delito contra a canons inmutábeis clásicos, pero o tempo vai poñer todo no seu lugar.

propiedades básicas de campo R

Os números reais non só ten as mesmas propiedades que o podmozhestva que inclúen, pero son complementados por outros masshabnosti en virtude dos seus elementos:

• Cero R. existe e pertence ao campo c + c = 0 para calquera c de R.
• Cero existe e pertence ao campo de R. C x 0 = 0 para calquera c de R.
• A proporción C: D en que d 0 ≠ existe e é válida para calquera c, d de R.
• Campo R ordenada, é dicir, se c ≤ d, d ≤ C, logo c = D para calquera c, d de R.
• A adición de campo R é conmutativo, isto C D = D + C, para calquera c, d de R.
• A multiplicación no campo R é conmutativo, é dicir, x C x D = D C para todo c, d de R.
• A adición de campo R é asociativo é dicir, (c + d) + f = C (d + F) para calquera c, d, f de R.
• A multiplicación no campo R é asociativo é dicir, (c X d) x = f c x (d x f) para calquera c, d, f R.
• Para cada número de campo contrario ao que R alí, de tal xeito que C (c) = 0, en que c, c de R.
• Para cada número de campo R existe o inverso, de tal xeito que c x C ^-1 = 1 onde C, C ^-1 de R.
• Unidade existe e pertence a R, de xeito que os c x 1 = c, para calquera c de R.
• Ten a distribución de lei de potencia, de xeito que c x (D f) = C x F x C + D, en calquera c, d, f de R.
• O campo R é cero non é igual á unidade.
• O campo R é transitiva: se c ≤ d, d ≤ f, entón c ≤ f para calquera c, d, f da R.
• Na orde R e incorporación son conectados: se c ≤ d, entón c + d + f ≤ F para todo c, d, f de R.
• Na orde de R e multiplicación conectados: se 0 ≤ C, 0 ≤ D, logo 0 ≤ C x D para calquera c, d de R.
• Como números reais positivos e negativos son continuas, é dicir, para calquera c, d R f, existe dende R, que c ≤ f ≤ d.

campo Módulo R

Os números reais inclúen unha cousa como un módulo. Designou como a | f | para calquera f en R. | f | = F, se 0 ≤ f e | f | = -f, se 0> f. Se consideramos o módulo como un valor xeométrica, é unha distancia - non importa, "pasou" Lo como cero no negativo para o positivo ou para adiante.

Os números complexos e reais. Cales son as semellanzas e diferenzas?

Por e números grandes, complexos e reais - son unha ea mesma, agás que o primeiro se xuntou a unidade imaxinaria i, o cadrado que é igual a -1. Elementos campos R e C poden ser representados pola seguinte fórmula:

• c = D + F x i, en que d, f pertencen ao campo R, e I - unidade imaxinaria.

Para obter o C R f neste caso asumiu simplemente para ser cero, é dicir, non é só a parte real do número. Como o campo de números complexos ten o mesmo conxunto de recursos como o campo de reais, f x i = 0 se f = 0.

En relación diferenzas prácticas, por exemplo, no campo R ecuación cuadrática non pode ser resolto a discriminante é negativo, mentres que a caixa de C non impón esta limitación, introducindo a unidade imaxinaria i.

resultados

"Ladrillos" de axiomas e postulados que a matemática básica, non cambian. Nalgúns deles, debido ao aumento da información e da introdución de novas teorías postas as seguintes "ladrillos", que no futuro poden facer a base para a próxima etapa. Por exemplo, os números naturais, a pesar do feito de que son un subconxunto do verdadeiro campo R, non perde a súa relevancia. É a eles a base de toda a aritmética elemental, que comeza co coñecemento dun home de paz.

Dun punto de vista práctico, os números reais ollar como unha liña recta. Pode escoller unha dirección, para identificar a orixe eo campo. Directa consiste nun número infinito de puntos, cada un dos cales corresponde a un único número real, independentemente de haber ou non racional. A partir da descrición, está claro que estamos a falar sobre o concepto, que está baseado matemática en xeral, e análise matemática en particular.