¿Que é un número de coma flotante?

A presentación de números reais (ou reais), onde están gardados como unha mantissa e expoñente son números de punto flotante (quizais punto, como é habitual nos países de lingua inglés). A pesar diso, o número é subministrado con unha precisión relativa fixa e cambiando absoluta. Representación que se usa con máis frecuencia, aprobado IEEE 754. operacións matemáticas estándar que usan números de punto flotante son aplicados en sistemas de computación - hardware e software.

Punto ou comas

A lista detallada de separador decimal identifica os países de lingua inglés e anglofitsirovannye, onde os rexistros de números separados por unha parte fraccionada de toda a cuestión, porque a terminoloxía deses países fixeron o nome de punto flotante - "punto flotante". Na Federación Rusa, a parte fraccionada de toda a tradición, separadas por comas, por iso representa o mesmo concepto ten historicamente recoñecido o termo "punto flotante". Con todo, hoxe na documentación técnica e na literatura rusa se permite ambas opcións.

O termo "punto flotante" orixinado a partir do feito de que unha representación dun número de posición e unha coma (decimal normal ou binario - un ordenador) que pode encaixar en calquera lugar entre os números de liñas. Esta característica é certo para estipular lo por separado. Isto quere dicir que a representación dos números de punto flotante pode ser considerado como unha aplicación de computador de forma exponencial. A vantaxe de utilizar unha tal representación dun punto fixo de formato de representación e números enteiros que varían de valores crece significativamente cando que a precisión en relación permanece inalterada.

exemplo

A vírgula no número de fixo, entón queima-lo é só un formato. Por exemplo, deu un pouco de un en número de seis e dous díxitos na parte fraccionada. Isto só se pode facer do seguinte xeito: 123456.78. O formato dos números de punto dando alcance completo para expresión flutuante. Por exemplo, dado os mesmos oito díxitos. opcións de gravación pode ser calquera o programador non fai dous díxitos aforran deber campo adicional, onde pode gardar os expoñentes que son tipicamente de 10, e de 0 a 16, e as descargas, mentres que o número total será de dez 8 + 2.

Algunhas formas de realización da gravación, que permite dar formato números con punto flotante: 12345678000000000000; , 0000012345678; 123,45678; 1.2345678 e así por diante. Neste formato, non existe nin unha unidade de medida de velocidade! Pola contra, o desempeño dun sistema informático que grava a velocidade a que o ordenador executa as operacións onde hai representación de números de punto flotante. Este desempeño é medido en termos de fracasos (operacións de coma flotante por segundo, o que se traduce en que o número de transaccións por segundo con un punto flotante). Esta é a unidade básica na velocidade sistema informático de medida.

estrutura

número de rexistro en formato de punto flutuante cómpre como segue, observándose a secuencia das partes obrigatorias, porque esta ficha é exponencial, que mostra os números reais como unha mantissa e fin. É necesario para representar números moi grandes e moi pequenos, son moito máis fáciles de ler. pezas necesarias: o número rexistrado (N) a mantissa (M), a fin do sinal (P) eo fin (n). As dúas últimas características do signo. Así, N = ^M. n ^p. Entón escrito números de punto flotante. Exemplos será variada.

1. Cómpre rexistrarse o número de un millón, para non perderse nos ceros. 1000000 - é unha gravación normal, aritmética. Un ordenador é o seguinte: ^{1.0. 6} de ^outubro. É dicir, dez á sexta potencia - tres sinais, que se encaixan en ata seis ceros. Así ocorre representación dos números de punto fixo e flutuante inmediatamente onde pode detectar diferenzas de grafia.

2. E un número tan difícil é 1435000000 (mil millóns 435000) tamén pode ser escrita simplemente: ^{1.435. 10} de setembro ^de só. Así é un sinal de menos pode escribir calquera número. É iso, e difiren entre si co número de punto fixo e flotante.

Pero é máis sobre como pode baixa? Si, moi facilmente.

3. Por exemplo, como a marca dun milionésimo? = 0.000001 ^1,0. 10 ^-6. Grandemente facilitado e escribir números, e lelo.

4. A máis complicado? Cincocentos e corenta sexto bilionésimo: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Aquí. O intervalo de punto flotante é moi ampla.

forma

número de formulario pode ser normal ou normalizada. Normal - sempre respectar a precisión de números de punto flotante. Débese notar que a mantissa deste xeito, sen ter en conta o sinal, é a metade do intervalo de 0 1, o 0 ⩽ a <1. Non en forma normal do número de perde a súa precisión. A desvantaxe de forma normal é que moitos números poden ser escritos en distintas formas, que é ambigua. EXEMPLO diferentes rexistros do mesmo número: 0 = 0,0001, ^{000001. 10} de febreiro = ^{0,00001. 10} de xaneiro = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, e así pode ser moito máis. É por iso que o ordenador usa unha notación normalizada diferente, onde a decimal mantissa asume o valor das unidades (inclusive), e, polo tanto, a dez (non incluído), e do mesmo xeito o número binario mantissa ten un valor entre un (e) a dous (non e).

Entón, 1 ⩽ a <10 Este -. Números binarios con punto flotante, e esta forma de gravar calquera número (excepto cero) capta unha forma única. Pero tamén hai unha desvantaxe - a incapacidade de imaxinar este tipo de cero. Polo tanto informática prevé a utilización de números especiais 0 sinal (BIT). A parte enteira (MSB) do mantissa do número binario con excepción do cero nunha forma normalizada é igual a 1 (unidade implícito). Este rexistro é utilizado norma IEEE 754. O sistema de numeración de posicionamento, en que a base é máis que dous (ternário, cuaternario e outros sistemas), esta propiedade non é adquirido.

reais

números reais con punto flotante e son xeralmente así como non é o único, pero un xeito moi cómodo para representar un número real, por así dicir, un compromiso entre a gama de valores e precisión. Isto é análogo a notación exponencial, realizada só no ordenador. número de coma flotante - un conxunto de bits individuais divídese en un sinal (sinal), orde (expoñente) e mantissa (mantis). O formato máis común é un número 754 de punto flotante IEEE como un conxunto de bits que codifican unha parte da súa mantissa, a outra parte - o grao eo bit indica o sinal do número: Cero - se é positivo, a unidade - o número é negativo. Todo o procedemento é rexistrado por un número (código de desprazamento), ea mantissa - nunha forma normalizada, a súa parte fraccionada - no sistema binario.

Cada sinal - é un único bit que indica o sinal para todos os números de punto flotante. Mantissa e orde - son enteiros, eles, xunto co sinal e facer a representación de números de punto flotante. O procedemento pode ser chamado exponencial ou expoñente. Non todos os números reais poden ser representados nun ordenador no seu significado exacto, os outros son presentados valores aproximados. Unha opción moito máis simple - a presentar un número real cun punto fixo, onde o real e toda a parte estará sometido separado. Moi probablemente, de xeito que a parte enteira sempre atribuído anacos X, e unha fraccionada - bits de Y. Pero a arquitectura de procesadores non son conscientes de tal método, senón porque a preferencia é dada ao número de punto flotante.

adición

Ademais de números de punto flotante é moi sinxelo. En conexión co número único de precisión estándar IEEE 754 ten un gran número de bits, polo que é mellor para seguir adiante a exemplos, con unha idea mellor para tomar o menor número de punto flotante. Por exemplo, os dous números - X e Y.

Os pasos son os seguintes:

a) Os números deben ser representados en forma normalizada. É claramente un oculto. X = ^1,110. 2 ^2, e Y = ^1,000. 2 ^0.

b) seguir o proceso de composición só pode igualar os expositores, pero que necesita reescribir o valor Y. corresponderá ao valor dos números normalizados, aínda que, de feito, - unnormalizes.

Calcular a diferenza entre os expoñentes de grao 2-0 = 2. Agora move o mantissa para compensar esas mudanzas, é dicir, engadir 2 ao índice do segundo mandato, movendo-se, así, unha coma unidades escondidas en dous puntos á esquerda. 0,0100 é ^{obtido. 2} de ^febreiro. Este será o equivalente ao valor anterior Y, logo xa hai un Y '.

c) Agora ten que engadir o número de mantissa X e Y. axustado

1,110 + 0,01 = 10,0

Expositor aínda é representado polo parámetro X, que é igual a 2.

g) O importe recibido no paso anterior, mudouse a unidade de normalización, entón tes que cambiar a suma expoñente e repita. 10.0 con dous bits á esquerda do punto decimal, o número é agora necesario para normalizar, é dicir, desprazarse a coma á esquerda por un punto, e un expoñente respectivamente aumentou 1. Acontece ^{1000. 2} de ^marzo.

e) É tempo para converter un número de coma flotante no sistema de byte único.

conclusión

Como verás, engadir estas cifras non son moi difíciles, algo que flota coma. A non ser que, por suposto, con excepción para levar o número de menor expoñente entre máis (no exemplo anterior, se o Y a X), así como o restablecemento do status quo, é dicir, o problema de compensación - mover o punto decimal á esquerda da mantissa. Cando a adición xa foi aplicado, é moi posible e aínda un problema - perenormirovanie e pouco truncamento se o número non corresponde ao número de representa-lo.

multiplicación

sistema binario ofrece dous métodos polos que multiplica os números de punto flotante. Esta tarefa pode ser realizada a través da multiplicación, que comeza cos bits menos significativos e que comeza cos bits de orde superior do multiplicador. Ambos os casos conter un número de operacións de empilhado secuencialmente produto parcial. Estas operacións son controladas por medio da adición de bits de multiplicadores. Así, un dos bits do multiplicador é unha unidade, a suma dos produtos parciais do multiplicando crece cun desprazamento correspondente. Un díxito do multiplicador penetrou cero, mentres que o multiplicando non se engade.

A multiplicación se realiza só dous números, o produto dos números no seu importe non poderá superar o número de díxitos contidos nos factores, máis do dobre, e para un gran número é moi, moi. Se multiplicado por un número, o produto non corre o risco de encaixar en pantalla. Xa que o número de bits de calquera máquina dixital é moi limitado, e isto obriga a confinar un máximo de dúas veces o número de somadores díxitos. E se o número de prazas é limitado, no produto inevitablemente introducen erros. Se a cantidade de computación é grande, o erro de superposición, e como resultado, aumenta a precisión xeral. Aquí, o único xeito - para redondear os resultados de multiplicación, a continuación, as obras de erro foron alternados. Cando unha operación de multiplicación, é posible ir alén da reixa de díxitos, pero só polo máis novo, porque hai un límite imposto sobre o número de que son representados en forma de punto fixo.

algunhas explicacións

É mellor comezar de comezo. A forma máis común para representar o número - números de liña como un enteiro, onde a coma está implícita na propia extremo. Esta cadea pode ser de calquera tamaño, pero unha vírgula está no lugar seguro para poñelas, separando o enteiro da parte fraccionada do mesmo. O formato de presentación do sistema de punto fixo pon necesariamente certas condicións sobre a localización do punto decimal. notación científica usa unha vista normalizado estándar da representación de números. É aqn {\ displaystyle aq ^ {n }} n aq. Aquí a {\ displaystyle ^a} un, e se chama a renda mantissa. Só sobre el se dixo que 0 ⩽ un claro: N {/ displaystyle n} n - un expoñente enteiro, e ^q {/ displaystyle Q} q - tamén un enteiro, que é a base da raíz (a letra é xeralmente 10). Mantissa deixar unha vírgula despois do primeiro díxito, o que non é cero, senón que gravación é trasladado para a información sobre o valor presente do número.

número de coma flotante está escrito moi semellantes a todos os números de entrada estándar claras, só o expoñente e mantissa rexístranse separado. Pasado para o mesmo e en formato normalizado - punto fixo, que está decorado con o primeiro díxito significativo. Só en punto flotante é utilizado principalmente no ordenador, é dicir, na representación electrónica de onde o sistema non é decimal e binario, onde incluso mantissa Desnormalizar punto Rearranjado - agora é antes do primeiro díxito, axiña, antes, non despois dela, onde a parte enteira en principio, non pode ser. Por exemplo, o noso propio sistema decimal daría súa nove sistema binario para uso temporal. E que pode gravar e seu punto flotante mantissa así: +1001000 ... 0, e el eo índice 0 ... 0100. Pero o sistema decimal deixa de producir tales cálculos complexos, que poden ser en binario, utilizando-se a forma de punto flotante.

longa aritmética

En computadores electrónicos teñen built-in paquetes de software, onde alocados para a mantissa e expoñente da cantidade de software de memoria específica, limitados polo tamaño da memoria do ordenador. Parece un longo aritmética, é dicir, operacións simples en números que executa ordenador. É todo o mesmo - subtracción e adición, división e multiplicación, funcións elementais ea construción de raíz. Pero o número de moi diferente, a súa capacidade é significativamente maior que a lonxitude da palabra máquina. A posta en marcha destas operacións non é de hardware e software, pero é amplamente usado hardware básico para traballar con números moi pequenos de ordes. Hai máis e aritmética, onde o número de lonxitude limitados pola capacidade de memoria - arbitraria aritmética de precisión. Unha longa aritmética é usado en moitos campos.

1. Para compilar o código (procesadores, microcontroladores con profundidade de bits baixo - rexistros de 10 bits e lonxitude de palabra de oito bits, non é suficiente para xestionar a información do analóxico a dixital (conversor analóxico-dixital), e, polo tanto, non pode prescindir dun longo aritmética.

2. É tamén un longo aritmética é usada para o cifrado, onde é necesario para garantir a precisión do resultado da exponenciação ou multiplicación de ^10.309. aritmética enteira se usa módulo m - un gran número natural, e non é necesariamente simple.

3. Software para financiamento e matemáticos, tamén, non é sen un longo aritmética, porque o único xeito de comprobar os resultados dos cálculos no papel - coa axuda do ordenador, garantindo alta precisión dos números. punto flotante que pode implicar calquera número de longo descarga. Pero os cálculos de enxeñaría e do traballo de científicos esixen cálculos programa de intervención, a miúdo, xa que é moi difícil facer os datos de entrada sen cometer erros. son xeralmente moito máis voluminoso do que os resultados de redondeo.

Loite con erros

Cando unha serie de operacións en que o punto flotante, é moi difícil avaliar a precisión dos resultados. Non inventaron satisfacer toda a teoría matemática que axudaría a resolver este problema. Pero o número enteiro de erro avaliar facilmente. A posibilidade de se librar de imprecisións na superficie - pode usar só o número de punto fixo. Por exemplo, un programa financeiro construído sobre este principio. Sen embargo, existen máis simple: o número necesario de díxitos despois do punto decimal é coñecido de antemán.

Outras aplicacións non están limitados a, porque non pode traballar tanto con números moi pequenos ou moi grandes. Entón, cando se traballa sempre ten en conta que pode haber imprecisións, e porque a derivación dos resultados é necesario rolda. Ademais, o redondeo automático é moitas veces unha falta de acción, e polo tanto redondeo defínese especificamente. Moi perigoso a este respecto, a operación de comparación. Hai aínda estimar a cantidade de erros futuros é moi difícil.