Conceptos básicos da teoría da probabilidade. As leis da teoría da probabilidade

Moita xente, cando se confronta coa noción de "teoría da probabilidade", con medo, pensando que é algo intolerable, moi difícil. Pero non é realmente tan tráxica. Hoxe miramos para os conceptos básicos da teoría da probabilidade, aprender a resolver problemas por exemplos concretos.

ciencia

O que está estudando unha rama da matemática como unha "teoría da probabilidade"? Observa patróns de eventos aleatorios e variables. Por primeira vez, a cuestión dos científicos Preocupados, o século XVIII, cando o xogo estudado. conceptos básicos da teoría da probabilidade - evento. E ningún feito que é afirmado pola experiencia ou observación. Pero o que é a experiencia? Outro concepto básico da teoría da probabilidade. Isto significa que esta parte das circunstancias non son accidentalmente creados, e cun propósito. En relación á vixilancia, non é o propio investigador non participa na experiencia, senón simplemente unha testemuña a estes eventos, non ten ningún efecto sobre o que está pasando.

eventos

Aprendemos que o concepto básico da teoría da probabilidade - o evento, pero non considerou clasificación. Todos eles están divididos nas seguintes categorías:

• Confianza.
• Imposible.
• Aleatoria.

Non importa cal é o evento, que está a ser vixiado ou creadas no decurso da experiencia, son afectados por esa clasificación. Ofrecemos todo tipo de reunir-se por separado.

evento

Este é un feito de que para facer o conxunto necesario de actividades. Co fin de mellor comprender a esencia, é mellor dar algúns exemplos. Esta é subordinado á lei e física, química, economía e matemáticas superior. teoría da probabilidade inclúe un concepto tan importante como un evento significativo. Aquí están algúns exemplos:

• Traballamos e reciben unha remuneración en forma de salarios.
• Así pasou nos exames, pasou un concurso para que reciba remuneración en forma de admisión a unha institución de ensino.
• Temos investido diñeiro no banco, recuperala los, se é necesario.

Tales eventos son certas. Se temos cumprido todas as condicións necesarias, asegúrese de obter o resultado esperado.

evento imposible

Agora imos considerar os elementos da teoría da probabilidade. Ofrecemos para ir os aclaracións nos seguintes tipos de eventos - é dicir, o imposible. Para comezar a estipular a regra máis importante - a probabilidade dun suceso imposible é cero.

Desde esta formulación non pode ser derrogada na resolución de problemas. Para ilustrar exemplos de tales eventos:

• A auga é conxelado a unha temperatura de máis de dez (é imposible).
• A falta de electricidade non afecta a produción (tan imposible como no exemplo anterior).

Máis exemplos son datos non é necesario, como descrito anteriormente de forma clara reflectir a esencia desta categoría. evento imposible nunca acontece durante o experimento baixo ningunha circunstancia.

eventos aleatorios

Ao estudar os elementos da teoría da probabilidade, unha atención especial debe ser dada para o tipo de dato de evento. Estes son os que estudan esta ciencia. Como resultado da experiencia de algo pode ocorrer ou non. Ademais, a proba de un número ilimitado de veces pode ser realizada. Exemplos notables inclúen:

• Tire a moeda - é unha experiencia ou proba, a perda dunha aguia - este evento.
• Tirando o balón do saco cegamente - proba, foi pego bola vermella - este evento e así por diante.

Tales exemplos poden ser un número ilimitado, pero, en xeral, están a ser entendidas. Para resumir e sistematizar o coñecemento adquirido sobre os acontecementos dunha mesa. estudos teoría da probabilidade só o último tipo de todos presentados.

leis

teoría da probabilidade - a ciencia que estuda a posibilidade de perda de calquera evento. Como os outros, ten algunhas regras. Os seguintes leis da teoría da probabilidade:

• A converxencia de sucesións de variables aleatorias.
• A lei dos grandes números.

Ao calcular a posibilidade dun complexo pode ser usado eventos simple complexas para acadar resultados máis fácil e máis rápido xeitos. Débese notar que as leis da teoría da probabilidade pode ser facilmente comprobado coa axuda de algúns dos teoremas. Suxerimos comezar a familiarizarse coa primeira lei.

A converxencia de sucesións de variables aleatorias

Nótese que a converxencia de varios tipos:

• A secuencia de variables aleatorias converxencia en probabilidade.
• Case imposible.
• converxencia RMS.
• Converxencia en distribución.

Entón, no momento, é moi difícil de captar a esencia. Aquí están as definicións que axudar a comprender o tema. Para comezar co primeiro ollar. A secuencia é chamado de converxencia en probabilidade, a seguinte condición: N achégase do infinito, o número desexado pola secuencia é maior que cero e próximo á unidade.

Ir á seguinte exhibición, case certamente. Din que a secuencia converxe case certamente para unha variable aleatoria con n tende ao infinito, e R, tendendo a un valor próximo á unidade.

O seguinte tipo - unha converxencia de RMS. Cando se utiliza a converxencia aprendizaxe-SC de procesos aleatorios vector reduce ao estudo de procesos aleatorios de coordenadas.

Foi o último tipo, imos ollar brevemente e ir directamente á solución de problemas. Converxencia en distribución ten outro nome - "débil", a continuación, explicar o por que. converxencia feble - é a converxencia das funcións de distribución en todos os puntos de continuidade da función de distribución límite.

Asegúrese de manter a promesa: converxencia feble é diferente de todo o que precede que a variable aleatoria non está definida no espazo de probabilidade. Isto é posible porque a condición é formado utilizando exclusivamente funcións de distribución.

A lei dos grandes números

Gran auxiliar na proba da lei teoremas da teoría da probabilidade, tales como:

• desigualdade de Chebyshev.
• Teorema de Chebyshev.
• Xeneralizada teorema Chebyshev.
• Teorema de Markov.

Se consideramos todos estes teoremas, entón o problema pode levar varias decenas de follas. Temos a tarefa principal - é a aplicación da teoría da probabilidade na práctica. Ofrecémoslle agora e facelo. Pero, antes de considerar os axiomas da teoría da probabilidade, son socios fundamentais na resolución de problemas.

axiomas

Dende o principio, xa vimos, cando se fala sobre o evento imposible. Imos lembrar: a probabilidade dun suceso imposible é cero. Exemplo que deu unha moi vivas e memorable: a neve caeu a unha temperatura do aire de trinta graos Celsius.

A segunda é a seguinte: un determinado evento ocorre coa unidade de probabilidade. Agora imos amosar como está escrito coa axuda de linguaxe matemática: P (B) = 1.

Terceiro: un evento aleatorio pode ocorrer ou non, pero a posibilidade sempre variar de cero a un. Canto máis próximo estea da unidade, máis posibilidades; se o valor é próximo a cero, a probabilidade é moi baixa. Nós escribir isto en linguaxe matemática: 0

Considero o último, cuarto axioma, isto é: a suma da probabilidade de dous eventos é igual á suma das súas probabilidades. Fai termos matemáticos: P (A + B) = P (A) + P (B).

Os axiomas da teoría da probabilidade - é unha regra simple que non será difícil de lembrar. Imos tratar de resolver algúns problemas, en base a coñecementos xa adquiridos.

billete de lotería

En primeiro lugar, considerada o exemplo máis simple - unha lotería. Imaxina que compras un billete de lotería para dar sorte. Cal é a probabilidade de que vai gañar polo menos vinte rublos? circulación total está implicado en mil entradas, un dos cales ten un premio de cincocentos rublos, dez rublos, vinte e cincuenta rublos, e un centenar - cinco. A tarefa da teoría da probabilidade en base a como atopar un xeito de sorte. Agora, xuntos, analizar a decisión sobre a vista de tarefas pendentes.

Se denotar por un premio de cincocentos rublos, entón a probabilidade de que A é igual a 0,001. Como é que imos chegar? Só ten do número de entradas "sorte" dividido polo número total (neste caso: 1/1000).

In - un aumento de cen rublos, a probabilidade será igual a 0,01. Agora temos actuado do mesmo xeito que a última acción (10/1000)

C - recompensa é vinte rublos. Atope a probabilidade, é igual a 0,05.

O resto dos billetes non estamos interesados, como o seu premio en diñeiro é menor que o especificado na condición. Aplicar unha cuarta axioma: A probabilidade de gañar, polo menos, vinte rublos é P (A) + P (B) + P (C). Letra P denota a probabilidade de orixe do evento, que nas etapas anteriores xa atoparon-los. Resta só definir os datos necesarios, a resposta obtemos 0,061. Este número será a resposta á pregunta de postos de traballo.

baralla de cartas

Problemas na teoría da probabilidade, hai tamén máis complexo, por exemplo, dar o seguinte traballo. Antes de baralla de trinta e seis tarxetas. A súa tarefa - para deseñar dúas tarxetas nunha liña, sen mesturar pila, o primeiro e segundo tarxetas deben acces, traxe, non importa.

Para comezar, atopar a probabilidade de que a primeira tarxeta é un ás, esta división por catro e trinta e seis. Reserva. Nós obter unha segunda tarxeta é un ás coa probabilidade de 335. A probabilidade do segundo evento depende de cal a tarxeta que tirou o primeiro, estamos interesados en, era un ás ou non. Disto segue que, no caso depende do evento A.

O seguinte paso atopamos a probabilidade de implantación simultánea, é dicir, multiplicar A e B. O seu traballo é a seguinte: a probabilidade dun evento multiplicado pola probabilidade condicional de outro, calculamos, asumindo que o primeiro evento ocorreu, é dicir, a primeira tarxeta que sacou un ás.

Co fin de facer-se todo está claro, dar a designación de tal elemento como a probabilidade condicional do evento. El calcúlase asumindo que o evento A acontecido. É calculado do seguinte xeito: P (B / A).

Nós estender a solución ao problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ou I (A _* B) = P (B) _* P (A / B). A probabilidade é _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) calcúlase por redondeo ao centésimo máis próximo Temos: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. probabilidade de que extraer dúas ases consecutivas é igual a nove centésimos. o valor é moi pequena, séguese que a probabilidade de ocorrencia dun evento é moi baixo.

cuarto esquecido

Ofrecemos facer fóra algunhas opcións de postos de traballo que estuda a teoría da probabilidade. Exemplos de solucións de algúns dos máis viu neste artigo, proba resolver o seguinte problema: O neno esqueceu o número de teléfono para o último díxito do seu amigo, pero sempre que a chamada foi moi importante, a continuación, comezou a coller un de cada vez. Necesitamos calcular a probabilidade de que chamaría de non máis que tres veces. a solución máis simple do problema, se coñece as regras, leis e axiomas da teoría da probabilidade.

Antes de ver unha solución, intentar resolver por conta propia. Sabemos que o último valor pode ser de cero a nove, para un total de dez valores. puntuación probabilidade esixida é 1/10.

Logo necesitamos considerar as opcións para a orixe dos eventos, imos supor que o neno de adiviñar certo e gañou o dereito, a probabilidade de tales eventos é igual a 1/10. A segunda opción: o primeiro deslizamento chamada, eo segundo destino. Nós calcular a probabilidade de tales eventos: 9/10 multiplicado por 1/9, ao final, chegar o máis 1/10. A terceira opción: a primeira e segunda chamada resultou ser o enderezo incorrecto, só o terceiro rapaz era onde quería. Calcular a probabilidade de tales eventos: 10/09 multiplicado por 09/08 e 08/01, obtense como resultado 10/01. Outras opcións na condición do problema non estamos interesados, esta segue sendo para nós establecer estes resultados, a finais temos un 3/10. Resposta: A probabilidade de que un neno ía chamar non máis de tres veces, o equivalente a 0,3.

Tarxetas con números

Antes de nove tarxetas, cada un dos cales está escrito un número de un a nove, os números non son repetidas. Puxeron nunha caixa e mestura ben. Debe calcular a probabilidade de que o

• rodado un número par;
• un dous díxitos.

Antes de continuar a decisión estipulan que m - é o número de casos de éxito, e n - é o número total de opcións. Atoparemos a probabilidade de que o número é aínda. Non é difícil calcular que incluso números de catro, e é a nosa m, as nove opcións posibles, é dicir, m = 9. Entón a probabilidade é igual a 0,44 ou 4/9.

Consideramos o segundo caso, o número de variantes de nove anos, e un resultado exitoso non pode estar en todos, é dicir, m é cero. A probabilidade de que a tarxeta alongada conterá un número de dous díxitos, como cero.